سوال ۱۱۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. تبدیل شرط هندسی به نامعادله

بالای خط $y=-4$ و پایین خط $y=0$ بودن نمودار یعنی:
$-4< -\frac{1}{3-x}<0$.
این تبدیلِ موقعیت نمودار به شرطی بر مقدار تابع، همان ارتباط نمودار و علامت عبارت است که در مبحث تعیین علامت بررسی می‌شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸).

۲. بررسی دامنه و شرط منفی بودن تابع

مخرج نباید صفر باشد؛ پس $x\ne3$. مطابق روش تعیین علامت عبارت‌های کسری، باید علامت صورت و مخرج را بررسی کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸). چون صورت برابر $-1$ و منفی است، برای منفی بودن کسر لازم است:
$3-x>0\Rightarrow x<3$.

۳. بررسی شرط بالاتر بودن از خط پایینی

اکنون می‌دانیم $3-x>0$؛ بنابراین می‌توانیم نامعادلهٔ دیگر را در این مخرج ضرب کنیم، بدون آنکه جهت نامعادله تغییر کند:
$-4< -\frac{1}{3-x}\Rightarrow -4(3-x)<-1$.
در نتیجه:
$-12+4x<-1\Rightarrow4x<11\Rightarrow x<\frac{11}{4}$.
این شرط، شرط $x<3$ را نیز تأمین می‌کند؛ پس مجموعهٔ جواب حقیقی برابر است با:
$x\in\left(-\infty,\frac{11}{4}\right)$.

۴. شمارش مقادیر طبیعی

با قرارداد اعداد طبیعیِ مثبت، فقط $x=1$ و $x=2$ در این بازه قرار دارند. برای اطمینان، مقدار تابع در آن‌ها به‌ترتیب $-\frac12$ و $-1$ است که هر دو بین $-4$ و $0$ قرار دارند. بنابراین تعداد مقادیر خواسته‌شده $2$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳