سوال ۱۱۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول ـ حذف رادیکال‌ها:
طبق روابط نسبت‌های مثلثاتی، $\cot x=\frac{1}{\tan x}$؛ بنابراین $\tan x\cot x=1$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳). با به توان دو رساندن دو طرف تساوی داده‌شده داریم:
$\tan x+\cot x-2\sqrt{\tan x\cot x}=\frac{4}{7}$
پس:
$\tan x+\cot x=2+\frac{4}{7}=\frac{18}{7}$.

گام دوم ـ محاسبهٔ حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس:
با استفاده از تعریف تانژانت و کتانژانت و اتحاد $\sin^2x+\cos^2x=1$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳)، می‌نویسیم:
$\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$.
در نتیجه:
$\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{18}{7}\quad\Rightarrow\quad\sin x\cos x=\frac{7}{18}$.

گام سوم ـ محاسبهٔ مربع عبارت خواسته‌شده:
$(\sin x-\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\times\frac{7}{18}=\frac{2}{9}$.
بنابراین:
$\sin x-\cos x=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}$.

گام چهارم ـ تعیین علامت:
طبق تذکر کتاب، علامت نسبت‌های مثلثاتی باید با توجه به ربع زاویه تعیین شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳). از مثبت بودن طرف راست تساوی اولیه داریم:
$\sqrt{\tan x}>\sqrt{\cot x}\quad\Rightarrow\quad\tan x>\cot x$.
چون در ربع سوم $\tan x>0$ و $\cot x=\frac{1}{\tan x}$، نتیجه می‌شود $\tan x>1$. همچنین در این ربع $\cos x<0$؛ پس با ضرب نامساوی $\frac{\sin x}{\cos x}>1$ در کسینوس، جهت نامساوی عوض می‌شود:
$\sin x<\cos x\quad\Rightarrow\quad\sin x-\cos x<0$.
پس ریشهٔ منفی را انتخاب می‌کنیم:
$\boxed{\sin x-\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{3}}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴