سوال ۱۱۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۶ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۶ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۱۶ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

در مثلث ABC اندازه زوایای $\hat{ACB}$ و $\hat{ABC}$ به‌ترتیب ۴۵ و ۳۰ درجه است. اگر $AB=6$ باشد، طول ضلع BC کدام است؟

گزینهٔ ۱: $3(1+\sqrt{2})$
گزینهٔ ۲: $3(1+\sqrt{3})$
گزینهٔ ۳: $4(1+\sqrt{2})$
گزینهٔ ۴: $4(1+\sqrt{3})$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

برای استفاده از نسبت‌های مثلثاتی، مثلث را به دو مثلث قائم‌الزاویه تقسیم می‌کنیم؛ این همان روش رسم ارتفاع در مسائل کتاب است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۴).

گام اول: رسم ارتفاع و محاسبهٔ آن
از رأس $A$ بر ضلع $BC$ عمود رسم می‌کنیم و پای عمود را $H$ می‌نامیم. چون زاویه‌های $B$ و $C$ هر دو حاده‌اند، نقطهٔ $H$ بین $B$ و $C$ قرار دارد.

در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABH$ ، ضلع $AB=6$ وتر و $AH$ ضلع مقابل زاویهٔ $30^\circ$ است. مطابق تعریف سینوس (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۱) و مقدار سینوس این زاویه (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳)، داریم:
$\sin30^\circ=\frac{AH}{AB}=\frac{1}{2}$
پس:
$AH=6\times\frac{1}{2}=3$ .

گام دوم: محاسبهٔ دو قطعهٔ قاعده
طبق تعریف تانژانت، نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور آن را به کار می‌بریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۰). در مثلث $ABH$ :
$\tan30^\circ=\frac{AH}{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
بنابراین:
$BH=\frac{3}{\sqrt{3}/3}=3\sqrt{3}$ .

در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ACH$ نیز داریم:
$\tan45^\circ=\frac{AH}{HC}=1\quad\Rightarrow\quad HC=AH=3$ .
مقادیر تانژانت این دو زاویه در جدول نسبت‌های مثلثاتی آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳).

گام سوم: محاسبهٔ ضلع خواسته‌شده
چون $H$ روی پاره‌خط $BC$ است:
$BC=BH+HC=3\sqrt{3}+3=3(1+\sqrt{3})$ .

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: این گزینه می‌تواند از اشتباه‌گرفتن نسبت ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویهٔ دارای زاویهٔ $30^\circ$ با مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین به دست آید. نسبت درستِ قطعهٔ مجاور زاویهٔ $30^\circ$ به ارتفاع، $\sqrt{3}$ است، نه $\sqrt{2}$ .
گزینهٔ ۳: در این گزینه هم ضریب طول‌ها و هم نسبت مثلثاتی اشتباه است. ارتفاع با استفاده از وترِ $6$ و سینوس زاویهٔ $30^\circ$ برابر $3$ می‌شود، نه $4$ ؛ همچنین نسبت قطعهٔ مجاور این زاویه به ارتفاع، $\sqrt{3}$ است.
گزینهٔ ۴: این گزینه ممکن است با تشخیص درست نسبت قطعه‌های قاعده، اما محاسبهٔ نادرست ارتفاع به دست آید. ضریب مشترک دو قطعهٔ قاعده همان ارتفاع است که از رابطهٔ $6\sin30^\circ$ محاسبه می‌شود و برابر $4$ نیست.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روش رسم ارتفاع برای تبدیل مثلث به دو مثلث قائم‌الزاویه را به یاد بیاورید؛ این روش در ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۴ به کار رفته است.
از رأس $A$ بر ضلع $BC$ عمود رسم کنید و پای آن را $H$ بنامید. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABH$ ، ضلع معلومِ $AB$ وتر است؛ پس با سینوس زاویهٔ $B$ ارتفاع را پیدا کنید.
اگر ارتفاع را $h$ بنامید، زاویهٔ $45^\circ$ به شما می‌دهد $HC=h$ و زاویهٔ $30^\circ$ می‌دهد $BH=\sqrt{3}h$ . اکنون دو قطعهٔ قاعده را با هم جمع کنید.

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.