سوال ۱۰ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۰ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۰ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۰ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، مقدار $\cot\alpha$ کدام است؟

شکل: یک مستطیل که ضلع عمودی سمت چپ آن برابر ۲ است و ضلع پایین آن به دو قسمت مساوی هر کدام به طول ۲ تقسیم شده است. در گوشهٔ پایین-چپ زاویهٔ قائمه (مربع کوچک) وجود دارد. از گوشهٔ بالا-چپ مستطیل دو پاره‌خط رسم شده است: یکی به وسط ضلع پایین (فاصلهٔ ۲ از گوشهٔ پایین-چپ) و دیگری به گوشهٔ پایین-راست (قطر مستطیل). زاویهٔ بین این دو پاره‌خط در رأس بالا-چپ با $\alpha$ مشخص شده است.

گزینهٔ ۱: $1$
گزینهٔ ۲: $3$
گزینهٔ ۳: $\frac{1}{2}$
گزینهٔ ۴: $\frac{1}{3}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

برای استفاده از تعریف کتانژانت، ابتدا مثلث قائم‌الزاویه‌ای می‌سازیم که زاویهٔ $\alpha$ در آن باشد.

گام اول: نام‌گذاری و رسم خط کمکی
رأس بالا-چپ را $A$ ، پایین-چپ را $B$ ، وسط ضلع پایین را $M$ و پایین-راست را $C$ می‌نامیم. بنابراین:
$AB=2,\qquad BM=MC=2,\qquad BC=4$
از $M$ بر قطر $AC$ عمود می‌کنیم و پای عمود را $H$ می‌نامیم. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHM$ ، زاویهٔ رأس $A$ همان $\alpha$ است. طبق تعریف کتانژانت، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را باید حساب کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۰):
$\cot\alpha=\frac{AH}{MH}$

گام دوم: محاسبهٔ قطر و استفاده از تشابه
در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$ ، با قضیهٔ فیثاغورس داریم:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5$
مثلث‌های $CHM$ و $CBA$ هر دو قائم‌الزاویه‌اند و زاویهٔ رأس $C$ آن‌ها مشترک است؛ پس متشابه‌اند. در نتیجه:
$\frac{CH}{CB}=\frac{MH}{BA}=\frac{CM}{CA}=\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}$
بنابراین:
$CH=\frac{4}{\sqrt5},\qquad MH=\frac{2}{\sqrt5}$

گام سوم: محاسبهٔ ضلع مجاور و کتانژانت
چون $H$ روی پاره‌خط $AC$ قرار دارد:
$AH=AC-CH=2\sqrt5-\frac{4}{\sqrt5}=\frac{6}{\sqrt5}$
پس:
$\cot\alpha=\frac{AH}{MH}=\frac{\frac{6}{\sqrt5}}{\frac{2}{\sqrt5}}=3$

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: اگر زاویهٔ بین پاره‌خطِ متصل به وسط قاعده و ضلع عمودی را با $\alpha$ اشتباه بگیرید، به‌دلیل برابر بودن دو ضلع قائم، کتانژانت را $1$ به دست می‌آورید؛ اما $\alpha$ زاویهٔ بین دو پاره‌خط داخلی است.
گزینهٔ ۳: این مقدار از نسبت ارتفاع مستطیل به طول کل قاعده، یعنی $\frac{2}{4}$ ، حاصل می‌شود. این نسبت کتانژانت زاویهٔ قطر با ضلع عمودی است، نه کتانژانت زاویهٔ بین دو پاره‌خط.
گزینهٔ ۴: اگر در مثلث قائم‌الزاویهٔ مربوط به $\alpha$ ، ضلع مقابل را بر ضلع مجاور تقسیم کنید، $\tan\alpha=\frac{1}{3}$ به دست می‌آید. سؤال کتانژانت را می‌خواهد که عکس تانژانت است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف کتانژانت در مثلث قائم‌الزاویه را به یاد بیاورید: ضلع مجاور زاویه تقسیم بر ضلع مقابل آن (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۰). باید مثلث قائم‌الزاویه‌ای بسازید که خودِ زاویهٔ $\alpha$ در آن باشد.
رأس بالا-چپ را $A$ ، پایین-چپ را $B$ ، وسط قاعده را $M$ و پایین-راست را $C$ بنامید. از $M$ بر $AC$ عمود کنید و پای عمود را $H$ بگیرید؛ مثلث‌های $CHM$ و $CBA$ به‌دلیل داشتن زاویهٔ قائمه و زاویهٔ مشترک در $C$ متشابه‌اند.
ابتدا $AC$ را با قضیهٔ فیثاغورس به دست آورید؛ سپس از تشابه، $\frac{CH}{CB}=\frac{MH}{BA}=\frac{CM}{CA}$ را بنویسید. با محاسبهٔ $AH=AC-CH$ ، کافی است نسبت $\frac{AH}{MH}$ را پیدا کنید.

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.