سوال ۱۱۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

ابتدا با استفاده از اتحاد مثلثاتی، ضابطه را ساده می‌کنیم:
$\cos(\frac{3\pi}{2}+3x)=\sin(3x)$
پس داریم:
$f(x)=-\frac{1}{2}\sin(3x)$.

طبق تعریف، در تابع اکیداً نزولی، با افزایش ورودی باید مقدار تابع کاهش یابد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹). چون ضریب $-\frac{1}{2}$ منفی است، کافی است $\sin(3x)$ روی بازهٔ موردنظر اکیداً صعودی باشد.

با توجه به نمودار سینوس و بررسی یکنوایی توابع مثلثاتی در کتاب، تابع $\sin t$ روی بازهٔ $[-\frac{\pi}{2},0]$ اکیداً صعودی است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹). از طرفی، با افزایش $x$، عبارت $3x$ نیز افزایش می‌یابد؛ بنابراین:
$-\frac{\pi}{2}\leq 3x\leq 0\quad\Longleftrightarrow\quad-\frac{\pi}{6}\leq x\leq 0$.
پس تابع داده‌شده روی $[-\frac{\pi}{6},0]$ اکیداً نزولی است.

برای اطمینان از کمینه‌بودن سرِ چپ، توجه می‌کنیم که:
$f(-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}$.
این مقدار، بیشترین مقدار تابع است؛ زیرا $-1\leq\sin(3x)\leq1$. اگر $a<-\frac{\pi}{6}$ باشد، نزولی‌بودن اکید ایجاب می‌کند $f(a)>f(-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$ که ممکن نیست. بنابراین نمی‌توان بازه را از سمت چپ بیشتر گسترش داد و کمترین مقدار برابر است با:
$a_{\min}=-\frac{\pi}{6}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴