سوال ۱۱۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

طبق روش کتاب، برای یافتن وارون باید در رابطهٔ $y=f(x)$، متغیر $x$ را برحسب $y$ به دست آوریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۵–۲۷).

گام اول: بازنویسی تابع و توجه به دامنه
داریم:
$f(x)=1+x-2\sqrt{x}=(\sqrt{x}-1)^2$.
چون $x\geq1$، پس $\sqrt{x}-1\geq0$. بنابراین هنگام ریشه‌گیری باید شاخهٔ نامنفی را انتخاب کنیم؛ توجه به محدودیت دامنه در تعیین شاخهٔ وارون ضروری است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۷–۲۸).

گام دوم: به‌دست‌آوردن ضابطهٔ وارون
می‌نویسیم:
$y=(\sqrt{x}-1)^2$.
با توجه به نامنفی‌بودنِ $\sqrt{x}-1$:
$\sqrt{y}=\sqrt{x}-1\ \Rightarrow\ \sqrt{x}=1+\sqrt{y}\ \Rightarrow\ x=(1+\sqrt{y})^2$.
برد تابع $f$ برابر $[0,+\infty)$ است؛ بنابراین ضابطه و دامنهٔ وارون آن عبارت‌اند از:
$g(x)=(1+\sqrt{x})^2,\qquad x\geq0$.

گام سوم: محاسبهٔ ترکیب
در ترکیب $g\circ g$ ابتدا تابع داخلی و سپس تابع بیرونی را اعمال می‌کنیم:
$g(1)=(1+\sqrt{1})^2=4$.
پس:
$(g\circ g)(1)=g(g(1))=g(4)=(1+\sqrt{4})^2=9$.
توجه کنید که وارون‌بودنِ $f$ و $g$ باعث همانی‌شدنِ $f\circ g$ و $g\circ f$ می‌شود، نه $g\circ g$ (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۴–۲۵).

پاسخ: گزینهٔ ۳