سوال ۱۱۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. استفاده از شرط یکنوایی
برای هر دو عدد $x_1<x_2$، صعودی بودن تابع می‌دهد $f(x_1)\leq f(x_2)$ و نزولی بودن آن می‌دهد $f(x_1)\geq f(x_2)$. بنابراین $f(x_1)=f(x_2)$ و تابع ثابت است؛ این نتیجه بر پایهٔ مفهوم صعودی و نزولی بودن است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۹–۱۰).

در تابع چندجمله‌ایِ ثابت، جمله‌های وابسته به متغیر حذف می‌شوند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲). پس در ضابطهٔ داده‌شده داریم:
$m=0,\qquad n=0,\qquad f(x)=-k$.

۲. اعمال شرط تابع بودن مجموعه
با جای‌گذاری $m=n=0$، مجموعه به صورت زیر درمی‌آید:
$\{(0,-1),(0,k),(-1,-1),(3k+2,2k+1)\}$.
در یک تابع، هر ورودی فقط یک خروجی دارد. دو زوج نخست ورودی یکسانِ صفر دارند؛ پس خروجی‌هایشان باید برابر باشند:
$k=-1$.

۳. بررسی زوج مرتب آخر
برای اطمینان از تابع بودن کل مجموعه، مقدار به‌دست‌آمده را در زوج آخر قرار می‌دهیم:
$(3k+2,2k+1)=(3(-1)+2,2(-1)+1)=(-1,-1)$.
این زوج با زوج سوم یکسان است؛ تکرار یک زوج مرتب، شرط تابع بودن را نقض نمی‌کند. بنابراین مجموعهٔ نهایی $\{(0,-1),(-1,-1)\}$ یک تابع است.

۴. محاسبهٔ مقدار خواسته‌شده
توجه کنید که مجموعهٔ زوج‌های مرتب، لزوماً نمایش همان تابع $f$ نیست؛ از تابع بودن آن فقط برای تعیین پارامتر استفاده کردیم. اکنون چون $f(x)=-k$، داریم:
$f(\sqrt{5})=-(-1)=1$.

پاسخ: گزینهٔ ۳