دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۱۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۱۱۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

اگر y=x+24−x+12y=\frac{x+2}{4}-\frac{\sqrt{x+1}}{2} ضابطه تابع وارون y=ax+axy=ax+a\sqrt{x} باشد، مقدار aa کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: ۲
  2. گزینهٔ ۲: ۳
  3. گزینهٔ ۳: ۴
  4. گزینهٔ ۴: ۹
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

تابع اصلی و وارون آن را به‌ترتیب چنین می‌نامیم:
f(x)=ax+axf(x)=ax+a\sqrt{x} و g(x)=x+24−x+12g(x)=\frac{x+2}{4}-\frac{\sqrt{x+1}}{2}.

طبق خاصیت تابع وارون، داریم f(g(x))=xf(g(x))=x؛ یعنی اگر gg ورودی‌ای را به یک خروجی تبدیل کند، ff آن خروجی را به ورودی اولیه برمی‌گرداند (ریاضی ۳، صفحه‌های ۲۵–۲۷).

گام اول: یک مقدار ساده برای تابع وارون پیدا می‌کنیم.
با انتخاب x=8x=8، عبارت زیر رادیکال مربع کامل می‌شود:
g(8)=8+24−8+12=104−32=1g(8)=\frac{8+2}{4}-\frac{\sqrt{8+1}}{2}=\frac{10}{4}-\frac{3}{2}=1.

گام دوم: از وارون بودن استفاده می‌کنیم.
چون g(8)=1g(8)=1، پس:
f(1)=8f(1)=8.

گام سوم: پارامتر را به دست می‌آوریم.
از ضابطهٔ تابع اصلی داریم:
f(1)=a×1+a1=2af(1)=a\times1+a\sqrt{1}=2a.
بنابراین:
2a=8⇒a=42a=8\quad\Rightarrow\quad a=4.

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با محاسبهٔ نادرست f(1)=af(1)=a به‌جای f(1)=2af(1)=2a یا اشتباه در محاسبات وارون به این گزینه برسید. برای a=2a=2 داریم f(1)=4f(1)=4، درحالی‌که رابطهٔ وارون بودن ایجاب می‌کند f(1)=8f(1)=8 باشد.
  • گزینهٔ ۲: ممکن است مقدار رادیکال، یعنی 9=3\sqrt{9}=3، با پارامتر مجهول اشتباه گرفته شود. برای a=3a=3 داریم f(1)=6f(1)=6 که با مقدار لازمِ f(1)=8f(1)=8 سازگار نیست.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است عدد زیر رادیکال در محاسبهٔ g(8)g(8)، یعنی 99، به‌اشتباه پاسخ تلقی شود. اما برای a=9a=9 داریم f(1)=18f(1)=18، نه مقدار لازمِ 88.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. خاصیت ترکیب دو تابع وارون را از درس سوم فصل تابع به یاد بیاورید: ترکیب تابع و وارونش، ورودی اولیه را برمی‌گرداند.
  2. تابع اصلی را ff و وارون داده‌شده را gg بنامید. چون f(1)=2af(1)=2a است، پیدا کردن ورودی‌ای که خروجیِ gg را برابر 11 کند، مفید خواهد بود.
  3. با جای‌گذاری x=8x=8 در ضابطهٔ وارون، به g(8)=1g(8)=1 می‌رسید. اکنون از f(g(8))=8f(g(8))=8 استفاده کنید و مقدار f(1)f(1) را برحسب پارامتر بنویسید.

ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری