سوال ۱۱۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۱۱۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۴: مثلثات

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، زاویه $\alpha$ مشخص شده است. مقدار $\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)$ کدام است؟

شکل: خطی با شیب منفی (نزولی) که محور y ها را در نقطه ۱/۵ و محور x ها را در نقطه ۲ قطع می‌کند. زاویه $\alpha$ در محل برخورد خط با محور x ها (در سمت راست نقطه ۲، بین خط و محور x در بالای محور) مشخص شده است.

گزینهٔ ۱: $\frac{3}{4}$
گزینهٔ ۲: $\frac{4}{3}$
گزینهٔ ۳: $-\frac{3}{4}$
گزینهٔ ۴: $-\frac{4}{3}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول ــ تشخیص زاویه و علامت: زاویهٔ $\alpha$ میان نیم‌خط مثبتِ محور افقی و نیم‌خطِ مایل به بالا و چپ قرار دارد؛ بنابراین منفرجه است: $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ . در این بازه، تانژانت و کتانژانت منفی‌اند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۷۷–۷۸).

گام دوم ــ محاسبهٔ تانژانت از شیب خط: عرض از مبدأ خط $1.5=\frac{3}{2}$ و طول از مبدأ آن $2$ است؛ پس خط از نقاط $A(0,\frac{3}{2})$ و $B(2,0)$ می‌گذرد. تانژانت زاویهٔ خط با جهت مثبت محور افقی برابر شیب آن است؛ بنابراین:
$\tan\alpha=m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{0-\frac{3}{2}}{2-0}=-\frac{3}{4}$ .

گام سوم ــ تبدیل عبارت خواسته‌شده: طبق رابطهٔ نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های متمم داریم $\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot\alpha$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۲–۸۳). همچنین کتانژانت معکوس تانژانت است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۷۷–۷۸)، پس:
$\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$ .

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: این انتخاب از محاسبهٔ نسبت ارتفاع به قاعده و نادیده‌گرفتن علامت منفی به دست می‌آید. هم زاویهٔ مشخص‌شده منفرجه است و هم عبارت خواسته‌شده کتانژانت آن است، نه تانژانت آن.
گزینهٔ ۲: اگر نسبت قاعده به ارتفاع را فقط با طول‌های مثبت حساب کنید، به این گزینه می‌رسید. اما کتانژانت زاویهٔ منفرجه منفی است و نمی‌توان علامت آن را نادیده گرفت.
گزینهٔ ۳: این مقدار، شیب خط و برابر با $\tan\alpha$ است. برای محاسبهٔ عبارت سؤال باید معکوس این مقدار را به دست آورد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روابط نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های متمم را در ریاضی ۲، صفحه‌های ۸۲–۸۳ مرور کنید؛ تانژانتِ تفاضل یک زاویه از زاویهٔ قائمه به کدام نسبت تبدیل می‌شود؟
زاویهٔ مشخص‌شده منفرجه است؛ پس تانژانت و کتانژانت آن منفی‌اند. تانژانت این زاویه را می‌توانید از شیب خط و دو نقطهٔ برخورد آن با محورها به دست آورید.
با استفاده از دو نقطهٔ $(0,\frac{3}{2})$ و $(2,0)$ ، ابتدا $\tan\alpha=\frac{0-\frac{3}{2}}{2-0}$ را حساب کنید؛ سپس برای رسیدن به نسبت خواسته‌شده، معکوس آن را بگیرید.

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.