سوال ۱۲۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول ــ ساده‌کردن عامل داخل پرانتز:
با توجه به مقدار سینوس زاویهٔ معروف داریم:
$2\sin^2\frac{\pi}{4}=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=1$.
پس با استفاده از اتحاد اصلی مثلثاتی:
$2\sin^2\frac{\pi}{4}-\sin^2 x=1-\sin^2 x=\cos^2 x$.

گام دوم ــ ساده‌کردن رادیکال با توجه به قدرمطلق:
از تعریف تانژانت و اتحاد اصلی مثلثاتی نتیجه می‌شود:
$1+\tan^2 x=1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$.
بنابراین:
$\sqrt{1+\tan^2 x}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}}=\frac{1}{|\cos x|}$.
نکتهٔ مهم این است که ریشهٔ دومِ مربع یک عبارت، برابر قدرمطلق آن است.

گام سوم ــ تعیین علامت و محاسبهٔ حاصل:
از شرط $\pi<x<\frac{3\pi}{2}$ می‌فهمیم که انتهای کمان زاویه در ربع سوم است؛ در این ربع کسینوس منفی است. تعیین علامت نسبت‌ها با توجه به ربع زاویه، از نکات مورد استفاده در تمرین نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های مختلف کتاب است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۷–۸۸). در نتیجه:
$\cos x<0\quad\Rightarrow\quad |\cos x|=-\cos x$.
اکنون عبارت سؤال برابر است با:
$\frac{\cos^2 x}{|\cos x|}=\frac{\cos^2 x}{-\cos x}=-\cos x$.
چون زاویه درون بازهٔ داده‌شده است، $\cos x\ne0$ و این ساده‌سازی مجاز است.

پاسخ: گزینهٔ ۴