سوال ۱۲۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول: تعریف مجهول و تعیین سرعت‌ها
سرعت آب رودخانه را $x$ متر در دقیقه می‌گیریم. چون قایق می‌تواند خلاف جریان هم حرکت کند، باید $0<x<100$ باشد.
در جهت جریان، سرعت آب به سرعت قایق افزوده می‌شود؛ بنابراین سرعت قایق نسبت به ساحل $100+x$ است. در خلاف جهت جریان، سرعت آب از سرعت قایق کم می‌شود و سرعت نسبت به ساحل $100-x$ خواهد بود.

گام دوم: تشکیل معادلهٔ زمان‌ها
از رابطهٔ $t=\frac{d}{v}$ استفاده می‌کنیم. مسافت هر مسیر $1200$ متر است، پس زمان حرکت در جهت جریان و خلاف جهت جریان، بر حسب دقیقه، به‌ترتیب برابرند با:
$t_{\text{هم‌جهت}}=\frac{1200}{100+x}$
$t_{\text{خلاف‌جهت}}=\frac{1200}{100-x}$
زمان حرکت خلاف جریان بیشتر است. با توجه به اختلاف زمان داده‌شده داریم:
$\frac{1200}{100-x}-\frac{1200}{100+x}=5$
این روش، یعنی تعریف مجهول و تبدیل شرایط مسئله به معادلهٔ درجهٔ دوم، در مثال کاربردی کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۶).

گام سوم: ساده‌کردن و حل معادله
با مخرج مشترک گرفتن:
$\frac{1200\big((100+x)-(100-x)\big)}{(100-x)(100+x)}=5$
پس:
$\frac{2400x}{10000-x^2}=5$
چون $0<x<100$، مخرج صفر نیست و می‌توانیم دو طرف را در آن ضرب کنیم:
$2400x=50000-5x^2$
با انتقال جمله‌ها و تقسیم بر $5$:
$x^2+480x-10000=0$
با تجزیه به دست می‌آید:
$(x-20)(x+500)=0$
بنابراین:
$x=20\quad\text{یا}\quad x=-500$
ریشهٔ منفی برای سرعت آب قابل قبول نیست؛ پس سرعت آب رودخانه $20$ متر در دقیقه است.

گام چهارم: بررسی جواب
در این حالت، سرعت قایق در جهت جریان $120$ متر در دقیقه و در خلاف جهت جریان $80$ متر در دقیقه است. زمان‌ها برابرند با:
$\frac{1200}{120}=10\quad\text{و}\quad\frac{1200}{80}=15$
اختلاف آن‌ها $15-10=5$ دقیقه است؛ پس جواب با دادهٔ مسئله سازگار است.

پاسخ: گزینهٔ ۳