نمونه سوال فصل ۴ ریاضی یازدهم با جواب

برای زاویهٔ یک رادیانی، طول کمان مقابل برابر شعاع دایره است. بنابراین، نسبت این طول کمان به محیط دایره برابر است با $\frac{r}{2\pi r}=\frac{1}{2\pi}$. کمان‌های توصیف‌شده در سه گزینهٔ دیگر، به‌ترتیب زاویه‌های $2$ رادیان، $\pi$ رادیان و $1^\circ$ را مشخص می‌کنند. (صفحه‌های ۷۳ و ۷۴) پاسخ: گزینهٔ 1

شعاع دایرهٔ کوچک‌تر را $r$ سانتی‌متر می‌گیریم؛ شعاع دایرهٔ بزرگ‌تر برابر $r+20$ سانتی‌متر است. چون طول دو کمان برابر است، داریم $r\times75\times\frac{\pi}{180}=(r+20)\times50\times\frac{\pi}{180}$. با ساده‌سازی، $75r=50r+1000$ و در نتیجه $r=40$ به دست می‌آید. پس شعاع دایرهٔ کوچک‌تر $40\,\mathrm{cm}$ است. (صفحه‌های ۷۴ و ۷۵) پاسخ: گزینهٔ 3

با جای‌گذاری ارتفاع در رابطهٔ داده‌شده، $\cos\alpha=\frac{6400}{6400+6400}=\frac{1}{2}$ به دست می‌آید. چون $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$، داریم $\alpha=\frac{\pi}{3}$. کمان موردنظر روی سطح زمین است؛ بنابراین طول آن برابر $l=6400\times\frac{\pi}{3}=\frac{6400\pi}{3}\,\mathrm{km}$ خواهد بود. (صفحه‌های ۷۱، ۷۴ و ۷۹) پاسخ: گزینهٔ 2

از $\sin\alpha<0$ و $\sin\alpha\cos\alpha>0$ نتیجه می‌شود که $\cos\alpha<0$ نیز برقرار است؛ پس انتهای زاویه در ربع سوم قرار دارد. بنابراین $\pi<\frac{n\pi}{12}<\frac{3\pi}{2}$ و در نتیجه $12<n<18$. مقدارهای صحیح مجاز عبارت‌اند از $13،14،15،16،17$؛ پس پنج مقدار وجود دارد. (صفحه‌های ۷۷ و ۷۸) پاسخ: گزینهٔ 4

با مجذور کردن رابطهٔ داده‌شده داریم $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}$. با استفاده از $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$، نتیجه می‌شود $2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{24}{25}$. اکنون $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha=1-\frac{24}{25}=\frac{1}{25}$. (صفحه‌های ۷۸ و ۷۹) پاسخ: گزینهٔ 2

چون $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}$ و $\sin\alpha<0$ است، کسینوس مثبت خواهد بود. پس می‌توان نوشت $\sin\alpha=-3k$ و $\cos\alpha=4k$ که $k>0$ است. در نتیجه $\frac{2\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+2\cos\alpha}=\frac{-6k-4k}{-3k+8k}=\frac{-10k}{5k}=-2$. (صفحه‌های ۷۷ و ۷۸) پاسخ: گزینهٔ 1

اندازهٔ جهت‌دار چرخش نهایی برابر $\alpha=-150^\circ+840^\circ=690^\circ$ است. با کم کردن یک دور کامل، زاویهٔ هم‌انتهای $330^\circ$ به دست می‌آید که در ربع چهارم قرار دارد. در این ربع، سینوس و تانژانت منفی و کسینوس مثبت و کتانژانت منفی‌اند. بنابراین $\sin\alpha\tan\alpha>0$ و $\cos\alpha\cot\alpha<0$. (صفحه‌های ۷۲، ۷۷، ۷۸، ۸۵ و ۸۶) پاسخ: گزینهٔ 4

از رابطهٔ بنیادی داریم $\left(\frac{4-t^2}{5}\right)^2+\left(\frac{2t}{5}\right)^2=1$. بنابراین $(4-t^2)^2+4t^2=25$ و پس از بسط، $t^4-4t^2-9=0$. با قرار دادن $u=t^2$، معادلهٔ $u^2-4u-9=0$ حاصل می‌شود و ریشه‌های آن $u=2\pm\sqrt{13}$ هستند. چون $2-\sqrt{13}<0$ و $u=t^2\geq0$ است، تنها $t^2=2+\sqrt{13}$ پذیرفته می‌شود. از طرف دیگر، منفی بودن سینوس و مثبت بودن تانژانت نشان می‌دهد کسینوس منفی است؛ پس از $\cos\alpha=\frac{2t}{5}$ نتیجه می‌شود $t<0$. بنابراین $t=-\sqrt{2+\sqrt{13}}$. این مقدار، سینوس را نیز منفی می‌کند؛ زیرا $2+\sqrt{13}>4$ است. (صفحه‌های ۷۷ و ۷۸) پاسخ: گزینهٔ 3

از قرار داشتن نقطهٔ $P(a,b)$ روی نمودار داریم $b=\cos a$. طبق رابطهٔ کسینوس زاویه‌های قرینه، $\cos(-a)=\cos a=b$؛ بنابراین نقطهٔ $(-a,b)$ نیز روی نمودار است (صفحهٔ ۸۰). همچنین چون $0<a<\frac{\pi}{2}$، داریم $b>0$ و در نتیجه $b\ne-b$. از طرف دیگر، $\cos(\pi-a)=-\cos a=-b$ است، نه $b$ (صفحهٔ ۸۱). پس سایر نقطه‌ها روی نمودار نیستند. پاسخ: گزینهٔ ۱

چون $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$، کسینوس زاویه منفی است. بنابراین از $\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$ نتیجه می‌شود $\cos\alpha=-\frac{12}{13}$ و در نتیجه $\tan\alpha=-\frac{5}{12}$ (صفحهٔ ۷۸). با استفاده از روابط زاویه‌های مکمل و قرینه داریم $\tan(\pi-\alpha)=\frac{5}{12}$، $\cos(-\alpha)=-\frac{12}{13}$ و $\sin(-\alpha)=-\frac{5}{13}$ (صفحه‌های ۸۰ و ۸۱). پس حاصل عبارت برابر است با $\frac{5}{12}\times\left(-\frac{12}{13}\right)-\frac{5}{13}=-\frac{10}{13}$. پاسخ: گزینهٔ ۲

در دامنهٔ داده‌شده، کسینوس در $x=0$ مقدار بیشینهٔ $1$ و در $x=\pi$ مقدار کمینهٔ $-1$ را می‌گیرد. پس از $-1\leq\cos x\leq1$ داریم $-3\leq-3\cos x\leq3$ و بنابراین $-1\leq f(x)\leq5$. هر دو کران نیز به دست می‌آیند؛ پس برد تابع $[-1,5]$ است (صفحه‌های ۹۲ و ۹۳). برای تقاطع با محور افقی باید $2-3\cos x=0$، یعنی $\cos x=\frac{2}{3}$ باشد. کسینوس در بازهٔ $[-\frac{\pi}{2},0]$ از $0$ به $1$ افزایش می‌یابد و در بازهٔ $[0,\pi]$ از $1$ به $-1$ کاهش می‌یابد؛ بنابراین در هر یک از این دو بازه دقیقاً یک بار مقدار $\frac{2}{3}$ را می‌گیرد. در نتیجه نمودار دو نقطهٔ تقاطع با محور افقی دارد (صفحه‌های ۹۱ و ۹۲). پاسخ: گزینهٔ ۳

چون برد کسینوس $[-1,1]$ است، بیشینه و کمینهٔ تابع $f$ به‌ترتیب $b+|a|$ و $b-|a|$ هستند (صفحه‌های ۹۲ و ۹۳). پس $b+|a|=6$ و $b-|a|=-2$. با جمع و تفریق این دو رابطه، $b=2$ و $|a|=4$ به دست می‌آید. شرط $a<0$ نشان می‌دهد $a=-4$؛ بنابراین $f(x)=-4\cos x+2$. با توجه به روابط زاویه‌های مکمل و قرینه، $f(\pi-\alpha)=4\cos\alpha+2$ و $f(-\alpha)=-4\cos\alpha+2$ است؛ در نتیجه تفاضل آن‌ها برابر $8\cos\alpha$ می‌شود (صفحه‌های ۸۰ و ۸۱). از $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ داریم $\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$. چون زاویه در ربع دوم است، $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$ خواهد بود (صفحهٔ ۷۸). پس مقدار خواسته‌شده $8\times\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{32}{5}$ است. پاسخ: گزینهٔ ۴