نمونه سوال فصل ۳ ریاضی یازدهم با جواب

مخرج ضابطهٔ $f$ در $x=3$ صفر می‌شود؛ بنابراین $D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}$. برای هر عضو این دامنه داریم $f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$. پس مقدارهای دو تابع در دامنهٔ مشترک برابرند و برای تساوی آن‌ها کافی و لازم است دامنه‌ها نیز یکسان باشند؛ یعنی $\mathbb{R}\setminus\{a\}=\mathbb{R}\setminus\{3\}$، پس $a=3$. تعیین دامنه باید پیش از ساده‌سازی انجام شود. (صفحه‌های ۵۰ و ۵۱) پاسخ: گزینهٔ ۱

برای اینکه وارون $f$ تابع باشد، خروجی‌های $f$ باید دوبه‌دو متفاوت باشند. پس باید $a^2\ne1$ و $a^2\ne4$ باشد؛ یعنی $a\notin\{-2,-1,1,2\}$. از عددهای صحیح بازهٔ $[-3,3]$ فقط $-3$، $0$ و $3$ باقی می‌مانند. بنابراین تعداد مقدارهای مجاز برابر $3$ است. (صفحهٔ ۵۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

از $y=7-3x$ نتیجه می‌شود $3x=7-y$ و درنتیجه $x=\frac{7-y}{3}$؛ پس ضابطهٔ وارون $f^{-1}(x)=\frac{7-x}{3}$ است. همچنین $-1<x\le2$، بنابراین $-6\le-3x<3$ و با افزودن $7$ داریم $1\le7-3x<10$. پس برد $f$ برابر $[1,10)$ است و همین مجموعه، دامنهٔ وارون خواهد بود. (صفحه‌های ۶۱ و ۶۲) پاسخ: گزینهٔ ۳

دامنه‌های دو تابع به‌ترتیب $D_f=\{-3,-1,2,4\}$ و $D_g=\{-3,-1,2,5\}$ هستند؛ پس اشتراک آن‌ها $\{-3,-1,2\}$ است. چون $g(-3)=0$، ورودی $-3$ برای خارج‌قسمت مجاز نیست. در دو ورودی دیگر، $g(-1)=4$ و $g(2)=-2$ ناصفرند؛ بنابراین $D_{f/g}=\{-1,2\}$ و مجموع اعضای این دامنه $-1+2=1$ است. صفر بودن $f(-1)$ اشکالی ایجاد نمی‌کند. (صفحه‌های ۶۹ و ۷۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر $(a,b)$ روی نمودار $f$ باشد، نقطهٔ $(b,a)$ روی نمودار $f^{-1}$ قرار دارد؛ این جابه‌جایی با تقارن نسبت به خط $y=x$ انجام می‌شود. همچنین نقطهٔ متناظر در نمودار $y=-f(x)$ برابر $(a,-b)$ است که از تقارن نسبت به محور طول‌ها حاصل می‌شود. پس ترتیب خواسته‌شده، خط $y=x$ و سپس محور طول‌هاست. (صفحه‌های ۵۸ و ۶۸) پاسخ: گزینهٔ ۲

نمودار $f(x)=(x-3)^2$ نسبت به خط $x=3$ متقارن است. محدود کردن دامنه به یک بازه در یک سوی این خط، تابعی یک‌به‌یک می‌سازد. پس باید $a+2\le3$ یا $a\ge3$ باشد؛ یعنی $a\le1$ یا $a\ge3$. از میان عددهای صحیح بازهٔ $[0,5]$، مقدارهای $0,1,3,4,5$ پذیرفته می‌شوند. تنها مقدار باقی‌مانده، $a=2$، دامنهٔ $[2,4]$ را می‌دهد که در آن $f(2)=f(4)$ و تابع یک‌به‌یک نیست. بنابراین تعداد مقدارهای مجاز $5$ است. (صفحه‌های ۶۳ و ۶۴) پاسخ: گزینهٔ ۳

شرط تعریف هر دو تابع، $(x-2)(5-x)\ge0$ است. حاصل‌ضرب در بازهٔ $[2,5]$ نامنفی است؛ پس $D_f=D_g=[2,5]$. در تمام این دامنه، $f(x)+g(x)=0$ و جمع با تابع ثابت $h(x)=0$ به دامنهٔ $[2,5]$ برابر است. برای خارج‌قسمت باید علاوه بر تعریف هر دو تابع، $g(x)\ne0$ باشد. مقدار $g$ فقط در دو سر بازه، یعنی $x=2$ و $x=5$، صفر است؛ بنابراین $D_{f/g}=(2,5)$. در این بازه نیز $\frac{f(x)}{g(x)}=-1$ است. درنتیجه خارج‌قسمت با تابع ثابت $k(x)=-1$ به دامنهٔ $(2,5)$ برابر است. (صفحه‌های ۵۰، ۵۱، ۵۳، ۶۹ و ۷۰) پاسخ: گزینهٔ ۴

در تعریف تابع گویا، صورت و مخرج باید چندجمله‌ای باشند و مخرج، چندجمله‌ای صفر نباشد. تابع اول را می‌توان به شکل $\frac{\sqrt{7}x-2}{1}$ و تابع دوم را به شکل $\frac{\sqrt{7}}{1}$ نوشت؛ صورت هر دو چندجمله‌ای است. وجود ضریب گنگ مانعی برای چندجمله‌ای بودن نیست. در تابع سوم، عبارت $\sqrt{x}$ چندجمله‌ای نیست؛ بنابراین این تابع گویا نیست. پس فقط دو تابع نخست گویا هستند. (صفحهٔ ۴۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر $x=n$ عددی صحیح باشد، داریم $[x]+[-x]=n-n=0$؛ پس مخرج برابر $1$ است. اگر $x$ صحیح نباشد، می‌توان نوشت $x=n+t$ که در آن $n$ صحیح و $0<t<1$ است. در این صورت $[x]=n$ و چون $-n-1<-x<-n$، داریم $[-x]=-n-1$. بنابراین $[x]+[-x]=-1$ و مخرج صفر می‌شود. با توجه به تعریف جزء صحیح و ضرورت صفر نبودن مخرج، دامنه دقیقاً مجموعهٔ اعداد صحیح است. (صفحه‌های ۵۰، ۵۴ و ۵۵) پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق مدل کتاب، $S=356\sqrt{d}$ است که در آن تندی بر حسب کیلومتر بر ساعت و عمق بر حسب کیلومتر بیان می‌شود. اگر عمق ناحیهٔ کم‌عمق‌تر $d$ باشد، عمق ناحیهٔ دیگر $9d$ است؛ بنابراین تندی‌های متناظر برابر $356\sqrt{d}$ و $356\sqrt{9d}=1068\sqrt{d}$ هستند. از اختلاف داده‌شده داریم $712\sqrt{d}=1424$، پس $\sqrt{d}=2$ و در نتیجه $d=4$. بنابراین عمق ناحیهٔ کم‌عمق‌تر برابر $4$ کیلومتر است. (صفحهٔ ۵۲) پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تابع خطی غیرثابت $f(x)=ax+b$ داریم $a\ne0$ و با حل رابطهٔ $y=ax+b$ نسبت به $x$، وارون برابر $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$ است. بنابراین $(f-f^{-1})(x)=\left(a-\frac{1}{a}\right)x+b+\frac{b}{a}$. چون این عبارت برای تمام اعداد حقیقی برابر $6$ است، باید $a-\frac{1}{a}=0$؛ پس $a^2=1$ و $a=1$ یا $a=-1$. در حالت $a=-1$، جملهٔ ثابت نیز صفر می‌شود و اختلاف نمی‌تواند $6$ باشد. پس $a=1$ و از $2b=6$، مقدار $b=3$ به دست می‌آید. در نتیجه $f(x)=x+3$ و $f(2)=5$. (صفحه‌های ۶۲ و ۶۶) پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق تعرفه، زمان دقیق $2$ ساعت در بازهٔ $2\le x\le2.5$ قرار دارد و هزینهٔ آن $4$ هزار تومان است. زمان دقیق $2.5$ ساعت نیز در همین بازه است و همان هزینه را دارد. زمان دقیق $3$ ساعت در بازهٔ $3\le x\le5$ قرار می‌گیرد و هزینهٔ آن $6$ هزار تومان است. پس مجموع هزینه‌ها برابر $4+4+6=14$ هزار تومان خواهد بود. نکتهٔ اصلی، توجه به تعلق نقاط مرزی به بازه‌های تعرفه است. (صفحهٔ ۵۴) پاسخ: گزینهٔ ۲