سوال ۱۵۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

منظور از «طول نقطهٔ تقاطع»، مؤلفهٔ $x$ آن نقطه است؛ بنابراین باید مقدار ورودی‌ای را پیدا کنیم که در آن $f^{-1}(x)=g(x)$ باشد.

گام اول: یافتن ضابطه و دامنهٔ وارون
طبق مفهوم وارون، ورودی و خروجی جابه‌جا می‌شوند و دامنهٔ وارون، برد تابع اصلی است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۶۱–۶۲).
ضابطه را به صورت مربع کامل می‌نویسیم:
$f(x)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4,\qquad x\geq1$.
این تابع روی دامنهٔ داده‌شده صعودی و یک‌به‌یک است و برد آن $[-4,+\infty)$ است. اکنون از
$y=(x-1)^2-4$
و شرط $x-1\geq0$ نتیجه می‌گیریم:
$x=1+\sqrt{y+4}$.
پس با جابه‌جایی نام متغیرها داریم:
$f^{-1}(x)=1+\sqrt{x+4},\qquad x\geq-4$.

گام دوم: تشکیل معادلهٔ تقاطع
در نقطهٔ مشترک، خروجی دو تابع برای یک ورودی یکسان برابر است؛ بنابراین:
$1+\sqrt{x+4}=\frac{x-9}{2}$
$\sqrt{x+4}=\frac{x-11}{2}$.
چون طرف چپ نامنفی است، باید $x\geq11$ باشد. توجه به دامنه و شرایط مجاز، بخشی ضروری از بررسی توابع است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۵۰–۵۱).

گام سوم: حل و بررسی جواب‌ها
دو طرف معادله را مربع می‌کنیم:
$4(x+4)=(x-11)^2$
$4x+16=x^2-22x+121$
$x^2-26x+105=0$
$(x-5)(x-21)=0$.
پس جواب‌های معادلهٔ حاصل $x=5$ و $x=21$ هستند. مقدار $x=5$ شرط $x\geq11$ را ندارد و جوابی اضافی ناشی از مربع‌کردن است. برای مقدار دیگر:
$f^{-1}(21)=1+\sqrt{25}=6,\qquad g(21)=\frac{21-9}{2}=6$.
بنابراین نقطهٔ تقاطع $(21,6)$ و طول آن $21$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴