در یک بیضی به کانونهای (۲, -۱) و (۲, ۷)، اندازهٔ قطر کوچک ۶ واحد است. خروج از مرکز این بیضی، کدام است؟

سوال ۱۵۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۵۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۳۹۸، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۵۲ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۳۹۸ · سوال ۱۵۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۶: هندسه

در یک بیضی به کانون‌های $(2, -1)$ و $(2, 7)$ ، اندازهٔ قطر کوچک ۶ واحد است. خروج از مرکز این بیضی، کدام است؟

گزینهٔ ۱: $0.6$
گزینهٔ ۲: $0.64$
گزینهٔ ۳: $0.75$
گزینهٔ ۴: $0.8$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: نصف فاصلهٔ کانونی را پیدا می‌کنیم. در نمادگذاری کتاب، $c$ فاصلهٔ مرکز بیضی تا هر کانون و برابر با نصف فاصلهٔ دو کانون است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۲۹–۱۳۰). چون مؤلفهٔ اول دو کانون برابر است، داریم:
$FF'=|7-(-1)|=8$
پس:
$c=\frac{8}{2}=4$

گام دوم: نیم‌قطر کوچک را به دست می‌آوریم. طول قطر کوچک برابر با $2b$ است؛ بنابراین:
$2b=6\quad\Rightarrow\quad b=3$
دقت کنید که طول قطر کوچک را نباید مستقیماً به‌جای $b$ قرار داد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۰).

گام سوم: نیم‌قطر بزرگ را محاسبه می‌کنیم. طبق رابطهٔ میان نیم‌قطرهای بیضی و نصف فاصلهٔ کانونی، داریم $b^2=a^2-c^2$ (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۰). در نتیجه:
$a^2=b^2+c^2=3^2+4^2=9+16=25$
چون $a$ یک طول مثبت است:
$a=5$

گام چهارم: خروج از مرکز بیضی نسبت فاصلهٔ مرکز تا کانون به نیم‌قطر بزرگ است؛ یعنی $e=\frac{c}{a}$ . پس:
$e=\frac{4}{5}=0.8$

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: اگر به‌جای نسبت $c/a$ ، نسبت $b/a$ را حساب کنید، به $3/5=0.6$ می‌رسید. خروج از مرکز با فاصلهٔ مرکز تا کانون تعریف می‌شود، نه با نیم‌قطر کوچک.
گزینهٔ ۲: این گزینه از محاسبهٔ $c^2/a^2=16/25=0.64$ به دست می‌آید. این مقدار مربع خروج از مرکز است و برای یافتن خود خروج از مرکز باید ریشهٔ مثبت آن را گرفت.
گزینهٔ ۳: اگر نسبت نیم‌قطر کوچک به فاصلهٔ مرکز تا کانون را حساب کنید، به $b/c=3/4=0.75$ می‌رسید. این نسبت، تعریف خروج از مرکز نیست؛ نسبت درست $c/a$ است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف نیم‌قطرهای بیضی و نصف فاصلهٔ کانونی را مرور کنید؛ رابطهٔ میان این سه طول و تعریف خروج از مرکز، ابزارهای حل مسئله‌اند.
چون مؤلفهٔ اول دو کانون برابر است، فاصلهٔ آن‌ها از تفاضل مؤلفه‌های دوم به دست می‌آید. برای یافتن $c$ این فاصله، و برای یافتن $b$ طول قطر کوچک را نصف کنید.
اکنون $b=3$ و $c=4$ دارید. ابتدا با رابطهٔ $a^2=b^2+c^2$ نیم‌قطر بزرگ را بیابید و سپس نسبت $c/a$ را حساب کنید.

فصل «هندسه» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.