سوال ۱۵۳ · ریاضی
کنکور تجربی ۱۴۰۰ · سوال ۱۵۳ · کلید رسمی سازمان سنجش
ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۶: هندسه
دایره‌های و متقاطع‌اند. معادلهٔ وتر مشترک این دو دایره، کدام است؟
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی
پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)
پاسخ تشریحی
در بحث اوضاع نسبی دو دایره، دایره‌های متقاطع دو نقطهٔ مشترک دارند (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۳۹–۱۴۱). وتر مشترک، پاره‌خط اتصال این دو نقطه است و منظور از معادلهٔ آن، معادلهٔ خط حامل این پاره‌خط است.
گام اول: مختصات هر نقطهٔ مشترک باید در هر دو معادلهٔ زیر صدق کند:
این معادله‌ها به شکل گستردهٔ معادلهٔ دایره نوشته شده‌اند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۷).
گام دوم: معادلهٔ دوم را از معادلهٔ اول کم می‌کنیم تا جمله‌های درجهٔ دوم حذف شوند:
پس:
گام سوم: رابطه را ساده می‌کنیم:
بنابراین هر دو نقطهٔ تقاطع روی خط قرار دارند. چون از دو نقطهٔ متمایز فقط یک خط می‌گذرد، همین خط حامل وتر مشترک است و نیازی به محاسبهٔ مختصات نقاط تقاطع نداریم.
پاسخ: گزینهٔ ۱
چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند
- گزینهٔ ۲: ممکن است هنگام تفریق معادله‌ها، جملهٔ ثابت را به‌اشتباه باقی بگذارید و به برسید؛ اما طرف راست هر دو معادله یکسان است و با تفریق حذف می‌شود، پس چنین جملهٔ ثابتی نداریم.
- گزینهٔ ۳: این انتخاب می‌تواند ناشی از اشتباه علامت در تفریق باشد؛ تفاضل جمله‌های خطی است، نه ، بنابراین رابطهٔ به دست نمی‌آید.
- گزینهٔ ۴: ممکن است خط‌المرکزین را با خط حامل وتر مشترک اشتباه بگیرید؛ خط‌المرکزین در این مسئله شیب دارد، ولی وتر مشترک بر آن عمود است و نمی‌تواند روی خط قرار بگیرد.
راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)
- وتر مشترک، پاره‌خطی است که دو نقطهٔ تقاطع دایره‌ها را به هم وصل می‌کند؛ مختصات هر یک از این دو نقطه باید در معادلهٔ هر دو دایره صدق کند.
- برای پیدا کردن خط گذرنده از نقاط مشترک، دو معادله را از هم کم کنید تا جمله‌های درجهٔ دوم حذف شوند.
- در تفریق، طرف‌های راست نیز یکدیگر را حذف می‌کنند؛ رابطهٔ خطی باقی‌مانده را با انتقال یکی از جمله‌ها و تقسیم بر ضریب مشترک ساده کنید.