سوال ۱۵۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم: داده‌های نوشته‌شده با کلید اعلام‌شده سازگار نیستند؛ با این داده‌ها، گزینهٔ چهارم درست است، نه گزینهٔ اول.

گام اول: نوشتن تناسب ضلع‌های متناظر
چون $EF\parallel BC$ است، مطابق تعمیم قضیهٔ تالس داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۵–۳۶):
$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$.
از طرفی طول کل ضلع چپ برابر است با:
$AB=AE+EB=4+y$.
پس:
$\frac{4}{4+y}=\frac{x+1}{y+x+1}$.
با ضرب طرفین و وسطین:
$4(y+x+1)=(x+1)(4+y)$
$4y+4x+4=4x+4+xy+y$
$y(3-x)=0$.
چون $y=EB>0$ است، نتیجه می‌گیریم:
$x=3$.

گام دوم: تعیین مجهول دیگر
طبق قضیهٔ تالس، نسبت دو قسمت ضلع چپ با نسبت دو قسمت متناظر ضلع راست برابر است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۴–۳۵):
$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}$.
بنابراین:
$\frac{4}{y}=\frac{y^2}{5-x}$.
با جای‌گذاری $x=3$ داریم:
$\frac{4}{y}=\frac{y^2}{2}\Rightarrow y^3=8\Rightarrow y=2$.

گام سوم: محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده
$2x-y=2\times3-2=4$.
مقدار گزینهٔ اول، یعنی $-4$، با جابه‌جا کردن ترتیب تفریق و محاسبهٔ $y-2x$ حاصل می‌شود، نه با عبارت درج‌شده در سؤال. بنابراین اگر عبارت و طول‌ها دقیقاً مطابق متن باشند، کلید اعلام‌شده باید اصلاح شود.

پاسخ: گزینهٔ ۴