سوال ۱۵۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

با توصیف داده‌شده از شکل، پاسخ تأییدشدۀ اعلام‌شده با محاسبۀ مساحت سازگار نیست؛ گزینهٔ ۴ دو برابر مساحت واقعی است.

گام اول: تعیین زاویه‌ها
چون $AB=AC$، زاویه‌های قاعده برابرند؛ بنابراین:
$\angle ACB=\angle ABC=75^\circ$.
از طرفی، $CO\perp AB$؛ پس:
$\angle OCH=90^\circ-75^\circ=15^\circ$.

گام دوم: محاسبۀ طول قاعدۀ مثلث هاشورخورده
در مثلث قائم‌الزاویۀ $AHC$، ضلع $HC$ مجاور زاویۀ $75^\circ$ و $AC$ وتر است؛ بنابراین با استفاده از نسبت کسینوس داریم:
$HC=AC\cos75^\circ=6\cos75^\circ$.
این روشِ یافتن طول ضلع در مثلث قائم‌الزاویه، همان کاربرد نسبت‌های مثلثاتی در مسائل طول و ارتفاع است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۲–۳۵).
با مقدار دقیق $\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ نتیجه می‌شود:
$HC^2=36\cos^2 75^\circ=9(2-\sqrt3)$.

گام سوم: محاسبۀ ارتفاع مثلث هاشورخورده
طبق تعریف تانژانت، نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور در مثلث قائم‌الزاویه برابر تانژانت زاویه است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۰). پس در مثلث $OHC$:
$\tan15^\circ=\frac{OH}{HC}\quad\Rightarrow\quad OH=HC\tan15^\circ$.
همچنین مقدار دقیق این نسبت برابر است با:
$\tan15^\circ=2-\sqrt3$.

گام چهارم: محاسبۀ مساحت و بررسی گزینه‌ها
با استفاده از رابطۀ نصف حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۲–۳۳):
$S_{OHC}=\frac12 HC\times OH=\frac12 HC^2\tan15^\circ$.
در نتیجه:
$S_{OHC}=\frac92(2-\sqrt3)^2=\frac92(7-4\sqrt3)$.
چون $(7-4\sqrt3)(7+4\sqrt3)=1$، داریم:
$\boxed{S_{OHC}=\frac{9}{2(7+4\sqrt3)}}$.
این مقدار در گزینه‌ها نیست. اگر ضریب $\frac12$ در فرمول مساحت حذف شود، مقدار گزینۀ ۴ حاصل می‌شود؛ بنابراین احتمالاً در صورت سؤال، شکل یا گزینه‌ها خطایی وجود دارد.

پاسخ: با داده‌های فعلی، هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ گزینهٔ ۴ دو برابر مساحت درست است.