نمونه سوال فصل ۶ ریاضی دوازدهم با جواب

صفحه‌ای که بر محور عمود است و از رأس نمی‌گذرد، دایره ایجاد می‌کند. موازی بودن صفحه با یکی از وضعیت‌های مولد، با فرض نگذشتن از رأس، به تشکیل سهمی می‌انجامد. همچنین، اگر صفحه هر دو بخش سطح مخروطی را قطع کند، مقطع هذلولی است. پس ترتیب خواسته‌شده دایره، سهمی و هذلولی است. (صفحه‌های ۱۲۶ و ۱۲۷) پاسخ: گزینهٔ ۳

در فعالیت نخست، فرد تصویر جسم را در ذهن تغییر می‌دهد و در فعالیت دوم، با رسم گسترده، ساختار جسم را بررسی می‌کند. تفکر تجسمی به تصویرسازی کاملاً ذهنی محدود نیست و می‌تواند با قلم و کاغذ نیز انجام شود؛ بنابراین هر دو فعالیت در این دسته قرار می‌گیرند. (صفحهٔ ۱۲۲) پاسخ: گزینهٔ ۱

با دوران مستطیل حول ضلع به طول $6$، استوانه‌ای با ارتفاع $6$ و شعاع $5$ ساخته می‌شود. مقطع صفحهٔ موازی محور، مستطیلی است که یک ضلع آن $6$ و ضلع دیگرش وتر قاعده است. برای مربع شدن، طول وتر باید $6$ باشد. اگر فاصلهٔ صفحه از محور را $d$ بنامیم، با عمود کردن شعاع بر وتر داریم: $d^2+3^2=5^2$. بنابراین $d^2=16$ و $d=4$. (صفحه‌های ۱۲۳ تا ۱۲۵) پاسخ: گزینهٔ ۴

طول نخ، مجموع ثابت فاصله‌های نقاط روی بیضی از دو کانون است و در این مسئله $18$ است. برای نقطهٔ نخست، $7+10=17<18$، پس نقطه داخل بیضی است. برای نقطهٔ دوم، $6+12=18$، پس روی بیضی قرار دارد. برای نقطهٔ سوم، $9+11=20>18$، پس بیرون بیضی است. (صفحه‌های ۱۲۸ و ۱۲۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر فاصلهٔ سر قطر بزرگ از کانون نزدیک‌تر $x$ باشد، فاصلهٔ آن از کانون دورتر $4x$ است. مجموع این فاصله‌ها برابر قطر بزرگ است؛ پس $5x=20$ و $x=4$. در نتیجه دو فاصله $4$ و $16$ هستند و فاصلهٔ کانونی برابر $16-4=12$ است. بنابراین $a=10$ و $c=6$. اکنون $b^2=10^2-6^2=64$، پس $b=8$ و قطر کوچک $2b=16$ است. (صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

از رابطهٔ $c^2=a^2-b^2$ داریم $e^2=\frac{c^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}$. چون نیم‌قطر کوچک دو بیضی برابر است، با افزایش نیم‌قطر بزرگ، مقدار $\frac{b^2}{a^2}$ کاهش و در نتیجه خروج از مرکز افزایش می‌یابد. خروج از مرکز بیشتر نیز به معنای کشیدگی بیشتر است؛ بنابراین بیضی دوم کشیده‌تر است. (صفحه‌های ۱۳۰ و ۱۳۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

در مثلث $FMF'$، زاویهٔ $M$ قائم است؛ بنابراین $FF'=\sqrt{6^2+8^2}=10$ و $c=5$. از سوی دیگر، چون $M$ روی بیضی است، $2a=MF+MF'=6+8=14$ و $a=7$. پس $b^2=7^2-5^2=24$ و $b=2\sqrt{6}$. در نتیجه قطر کوچک برابر $2b=4\sqrt{6}$ است. (صفحه‌های ۱۲۹ و ۱۳۰) پاسخ: گزینهٔ ۲

نیم‌قطر بزرگ و نصف فاصلهٔ کانونی بیضی نخست را $a_1$ و $c$ می‌نامیم. هر سر قطر کوچک از دو کانون فاصله‌ای برابر $a_1$ دارد؛ پس محیط مثلث موردنظر $2a_1+2c=24$ است. همچنین $\frac{c}{a_1}=\frac{1}{2}$، یعنی $c=\frac{a_1}{2}$. بنابراین $3a_1=24$ و در نتیجه $a_1=8$ و $c=4$. قطر بزرگ بیضی نخست $16$ است؛ پس قطر کوچک بیضی دوم $16$ و نیم‌قطر کوچک آن $b_2=8$ است. دو بیضی کانون‌های مشترک دارند، بنابراین برای بیضی دوم نیز $c=4$. اکنون $a_2^2=b_2^2+c^2=64+16=80$ و $a_2=4\sqrt{5}$. در نتیجه $e_2=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$. (صفحه‌های ۱۲۹ تا ۱۳۱) پاسخ: گزینهٔ ۳

ویژگی بازتابی سهمی بیان می‌کند که نورِ تابیده‌شده از کانون، پس از برخورد با آینه در جهت موازی محور بازتاب می‌یابد. از سوی دیگر، محور سهمی بر خط هادی عمود است؛ بنابراین این پرتوها بر خط هادی نیز عمودند. گذشتن پرتوهای بازتابیده از کانون مربوط به حالت معکوس، یعنی ورود پرتوهای موازی محور، است. همچنین نمی‌توان رأس را جایگزین کانون کرد. (صفحهٔ ۱۳۳)
پاسخ: گزینهٔ 1

هر نقطهٔ سهمی از کانون و خط هادی فاصلهٔ یکسانی دارد. فاصلهٔ $M(4,t)$ از کانون $F(0,2)$ برابر $\sqrt{16+(t-2)^2}$ و فاصلهٔ آن از خط $y=-2$ برابر $|t+2|$ است. پس:
$\sqrt{16+(t-2)^2}=|t+2|$
با مجذور کردن داریم:
$16+t^2-4t+4=t^2+4t+4$
بنابراین $16=8t$ و در نتیجه $t=2$. جای‌گذاری نیز برابری دو فاصله را تأیید می‌کند. (صفحهٔ ۱۳۳)
پاسخ: گزینهٔ 3

با کامل کردن مربع‌ها، معادله به صورت $(x-2)^2+(y+3)^2=13-k$ درمی‌آید؛ پس مرکز $O(2,-3)$ و مربع شعاع $r^2=13-k$ است. (صفحهٔ ۱۳۷)
فاصلهٔ مرکز از خط $x+y=1$ برابر است با:
$d=\frac{|2-3-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
برای داشتن دو نقطهٔ اشتراک باید $r^2>2$ باشد؛ بنابراین $k<11$. (صفحهٔ ۱۳۸)
از طرفی برای نقطهٔ $P(2,0)$ داریم $OP^2=9$. بیرون‌بودن این نقطه مستلزم $9>13-k$، یعنی $k>4$ است. (صفحهٔ ۱۳۵)
در نتیجه $4<k<11$ و مقادیر صحیح مجاز عبارت‌اند از $5,6,7,8,9,10$. تعداد آنها $6$ است. در تمام این مقادیر، مربع شعاع نیز مثبت است.
پاسخ: گزینهٔ 4

دایرهٔ نخست مرکز مبدأ و شعاع $\sqrt{m}$ دارد و دایرهٔ دوم دارای مرکز $(5,0)$ و شعاع $2$ است؛ بنابراین فاصلهٔ مراکز $d=5$ است. همچنین باید $m>0$ باشد. (صفحهٔ ۱۳۴)
در تماس خارجی داریم:
$\sqrt{m}+2=5\Rightarrow\sqrt{m}=3\Rightarrow m=9$
در تماس داخلی باید:
$|\sqrt{m}-2|=5$
برقرار باشد. از دو حالت این معادله، فقط $\sqrt{m}=7$ پذیرفتنی است؛ پس $m=49$. حالت دیگر شعاع منفی می‌دهد و مردود است. این دو حالت بر معیارهای تماس دو دایره تکیه دارند. (صفحه‌های ۱۳۹ تا ۱۴۱)
بنابراین حاصل‌ضرب تمام مقادیر مجاز برابر $9\times49=441$ است.
پاسخ: گزینهٔ 2