نمونه سوال فصل ۷ ریاضی دوازدهم با جواب

ناسازگاری یعنی $P(A\cap B)=0$. چون $P(B)>0$، داریم $P(A\mid B)=\frac{0}{P(B)}=0$. از طرف دیگر، مثبت بودن احتمال هر دو پیشامد نتیجه می‌دهد $P(A)P(B)>0$؛ بنابراین شرط استقلال برقرار نیست. همچنین ناسازگاری به‌تنهایی مجموع احتمال‌ها را برابر یک نمی‌کند. (صفحهٔ ۱۴۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر $A$ پیشامد عبور از مسیر اول و $F$ پیشامد خرابی باشد، با قرار دادن $P(A)=p$، قانون احتمال کل می‌دهد: $P(F)=\frac{1}{10}p+\frac{2}{5}(1-p)=\frac{11}{50}$. پس $\frac{2}{5}-\frac{3}{10}p=\frac{11}{50}$ و در نتیجه $\frac{3}{10}p=\frac{9}{50}$؛ بنابراین $p=\frac{3}{5}$. (صفحهٔ ۱۴۶) پاسخ: گزینهٔ ۴

داریم $P(A')=\frac{3}{5}$. پیشامد اجتماع را می‌توان به دو بخش ناسازگار $A$ و $A'\cap B$ تجزیه کرد؛ پس $P(A\cup B)=P(A)+P(A'\cap B)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{11}{20}$. برای بررسی نیز $P(B)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{2}+\frac{3}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{7}{20}$ و $P(A\cap B)=\frac{1}{5}$ است که با فرمول اجتماع همین نتیجه را می‌دهد. (صفحه‌های ۱۴۴ و ۱۴۶) پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر $W$ پیشامد برد و $A$ پیشامد انتخاب دستهٔ اول باشد، داریم $P(W\mid A)=\frac{1}{4}$ و $P(W\mid A')=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. بنابراین $P(W)=p\times\frac{1}{4}+(1-p)\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. همچنین $P(W\cap A)=p\times\frac{1}{4}=P(A)P(W)$؛ پس این دو پیشامد مستقل‌اند. (صفحه‌های ۱۴۴ و ۱۴۶) پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا از قانون احتمال کل داریم $P(B)=\frac{3}{10}\times\frac{4}{5}+\frac{7}{10}\times\frac{3}{10}=\frac{24}{100}+\frac{21}{100}=\frac{45}{100}$. همچنین $P(A\cap B)=\frac{3}{10}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{100}$. در نتیجه، با تعریف احتمال شرطی، $P(A\mid B)=\frac{24/100}{45/100}=\frac{8}{15}$. (صفحه‌های ۱۴۴ و ۱۴۶) پاسخ: گزینهٔ ۲

تنظیم‌های اول و دوم را با $T_1$ و $T_2$ نشان می‌دهیم. با استقلال دو اجرا در هر تنظیم، احتمال دقیقاً یک موفقیت برابر است با $P(E)=\frac{1}{4}\times2\times\frac{1}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{3}{4}\times2\times\frac{3}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{11}{25}$. احتمال هیچ موفقیتی نیز $P(N)=\frac{1}{4}\times(\frac{4}{5})^2+\frac{3}{4}\times(\frac{2}{5})^2=\frac{7}{25}$ است. اگر $H$ پیشامد دست‌کم یک موفقیت باشد، $P(H)=1-\frac{7}{25}=\frac{18}{25}$. چون $E\subseteq H$، داریم $P(E\mid H)=\frac{11/25}{18/25}=\frac{11}{18}$. استقلال شرطی در هر تنظیم، به معنی استقلال دو اجرا پس از نامعلوم شدن تنظیم نیست. (صفحه‌های ۱۴۴ و ۱۴۶) پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر سهمی برابر $\frac{1}{10}$ از یک روش به روش دیگر منتقل شود، طبق قانون احتمال کل تغییر احتمال موفقیت برابر $\frac{1}{10}$ ضرب‌در اختلاف احتمال موفقیت مقصد و مبدأ است. بزرگ‌ترین اختلاف مثبت، میان روش اول و سوم است: $\frac{9}{10}-\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$. سهم روش سوم نیز برای این انتقال کافی است. پس بیشترین افزایش برابر $\frac{1}{10}\times\frac{7}{10}=\frac{7}{100}$ خواهد بود. (صفحهٔ ۱۴۶) پاسخ: گزینهٔ ۴

موفقیت در بخش‌های اول و دوم را به‌ترتیب با $C$ و $D$ نشان می‌دهیم. احتمال اجتماع در گروه اول $\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$، در گروه دوم $\frac{3}{10}+\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\frac{4}{5}$ و در گروه سوم $\frac{3}{5}+\frac{3}{5}-\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$ است. بنابراین قانون احتمال کل می‌دهد $P(C\cup D)=\frac{4}{5}$. همچنین $P(C)=\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}+\frac{1}{3}\times\frac{3}{10}+\frac{1}{6}\times\frac{3}{5}=\frac{1}{2}$. چون $C\subseteq C\cup D$، احتمال موردنظر $P(C\mid C\cup D)=\frac{1/2}{4/5}=\frac{5}{8}$ است. (صفحه‌های ۱۴۴ و ۱۴۶) پاسخ: گزینهٔ ۳

طبق تعریف احتمال شرطی، برای $P(A)>0$ داریم $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$. با ضرب دو طرف در $P(A)$ نتیجه می‌شود $P(A)P(B\mid A)=P(A\cap B)$. بنابراین این حاصل‌ضرب، احتمال وقوع هم‌زمان دو پیشامد را نشان می‌دهد، نه احتمال اجتماع یا تفاضل آنها (صفحهٔ ۱۴۵ و ۱۴۶). پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر دقیقاً یکی از دو پیشامد رخ دهد، یا $A\cap B'$ رخ داده است یا $A'\cap B$. این دو حالت ناسازگارند (صفحهٔ ۱۴۴). از رابطهٔ ضرب احتمال داریم $P(A\cap B')=\frac{2}{5}(1-\frac{3}{4})=\frac{1}{10}$ و $P(A'\cap B)=(1-\frac{2}{5})\frac{1}{6}=\frac{1}{10}$ (صفحهٔ ۱۴۵ و ۱۴۶). در نتیجه احتمال مطلوب برابر است با $\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}$. پاسخ: گزینهٔ ۴

از رابطهٔ متمم داریم $P(A')=1-t$ (صفحهٔ ۱۴۴). با استفاده از قانون احتمال کل، $P(B)=t\times t+(1-t)(1-t)=2t^2-2t+1$ است (صفحهٔ ۱۴۶). بنابراین $2t^2-2t+1=\frac{5}{8}$ و در نتیجه $16t^2-16t+3=0$. با تجزیه داریم $(4t-1)(4t-3)=0$؛ پس $t=\frac{1}{4}$ یا $t=\frac{3}{4}$. هر دو مقدار شرط $0<t<1$ را دارند؛ بنابراین دو مقدار متفاوت وجود دارد. پاسخ: گزینهٔ ۱

در حالت وقوع $A$، از رابطهٔ اجتماع داریم $P(B\cup C\mid A)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$؛ پس احتمال رخ ندادن هیچ‌کدام در این حالت $\frac{1}{3}$ است. در حالت وقوع $A'$ نیز $P(B\cup C\mid A')=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$ و احتمال رخ ندادن هیچ‌کدام $\frac{1}{8}$ است. این محاسبات بر روابط اجتماع و متمم تکیه دارند (صفحهٔ ۱۴۴). اکنون با قانون احتمال کل و با توجه به $P(A')=\frac{2}{3}$، احتمال مطلوب برابر است با $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{8}=\frac{1}{9}+\frac{1}{12}=\frac{7}{36}$ (صفحهٔ ۱۴۶). پاسخ: گزینهٔ ۳