سوال ۱۵۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

مهرهٔ نخست از جعبه خارج می‌شود و به آن برگردانده نمی‌شود؛ پس رنگ آن بر ترکیب مهره‌های باقی‌مانده اثر دارد. مطابق روش قانون احتمال کل، باید احتمال مطلوب را در هر حالتِ مرحلهٔ اول محاسبه و با وزن احتمال همان حالت جمع کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴۸).

۱. تعریف پیشامدها
پیشامد $A$ را «سفیدبودن هر دو مهرهٔ اخیر»، پیشامد $W$ را «سفیدبودن مهرهٔ نخست» و پیشامد $B$ را «سیاه‌بودن مهرهٔ نخست» می‌نامیم. در ابتدا $11$ مهره داریم؛ بنابراین:
$P(W)=\frac{5}{11},\qquad P(B)=\frac{6}{11}$.

۲. اگر مهرهٔ نخست سفید باشد
در جعبه $4$ مهرهٔ سفید و $6$ مهرهٔ سیاه باقی می‌ماند. برای محاسبهٔ احتمال انتخاب دو سفید، می‌توان دو مهرهٔ اخیر را به‌ترتیب در نظر گرفت: پس از انتخاب یک سفید، هم تعداد سفیدها و هم تعداد کل مهره‌ها یک واحد کم می‌شود. بنابراین:
$P(A\mid W)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}=\frac{2}{15}$.
این تغییر احتمال در برداشت دوم، ناشی از شرطی‌بودن احتمال و نبودِ جایگذاری است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴۴).

۳. اگر مهرهٔ نخست سیاه باشد
در جعبه $5$ مهرهٔ سفید و $5$ مهرهٔ سیاه باقی می‌ماند؛ پس:
$P(A\mid B)=\frac{5}{10}\times\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$.

۴. استفاده از قانون احتمال کل
دو حالتِ سفید یا سیاه بودن مهرهٔ نخست، ناسازگارند و تمام حالت‌ها را پوشش می‌دهند. در نتیجه، مطابق قانون احتمال کل (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۴۷–۱۴۸):
$P(A)=P(W)P(A\mid W)+P(B)P(A\mid B)$
$=\frac{5}{11}\times\frac{2}{15}+\frac{6}{11}\times\frac{2}{9}$
$=\frac{2}{33}+\frac{4}{33}=\frac{6}{33}=\frac{2}{11}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲