سوال ۱۴۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

نکتهٔ ضروری: صورت سؤالِ ارائه‌شده با گزینهٔ تأییدشده سازگار نیست؛ برای رسیدن به گزینهٔ کلید باید فرضی به متن اضافه شود.

۱. تعریف پیشامدها
پیشامد قبولی در امتحان اول را $A$ و قبولی در امتحان دوم را $B$ می‌نامیم. عبارت «در دو امتحان متوالی نمرهٔ قبولی بگیرد» به معنای قبولی در هر دو امتحان است؛ بنابراین داریم:
$P(A\cap B)=0.85$.
احتمال خواسته‌شده نیز $P(A|B)$ است. طبق رابطهٔ احتمال شرطی در کتاب:
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
(ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴۵–۱۴۶)

۲. نتیجهٔ برداشت مستقیم از صورت سؤال
اگر عبارت «احتمال قبولی در یک امتحان» برای هر یک از دو امتحان برقرار باشد، آنگاه $P(B)=0.9$ و در نتیجه:
$P(A|B)=\frac{0.85}{0.9}=\frac{17}{18}$.
این نتیجه گزینهٔ سوم است، نه گزینهٔ اعلام‌شده در کلید. اگر هم $0.9$ فقط احتمال قبولی در امتحان اول باشد، احتمال قبولی در امتحان دوم مشخص نیست و داده‌ها برای پاسخ یکتا کافی نیستند.

۳. چه فرض تکمیلی‌ای گزینهٔ کلید را نتیجه می‌دهد؟
برای به‌دست‌آوردن گزینهٔ دوم می‌توان فرض کرد، علاوه بر $P(A)=0.9$ و $P(A\cap B)=0.85$، احتمال قبولی در امتحان دوم به شرط مردودی در امتحان اول نیز $0.9$ باشد؛ یعنی:
$P(B|A^c)=0.9$.
این فرض در صورت سؤال نیامده است. با این فرض، طبق قانون احتمال کل داریم:
$P(B)=P(A\cap B)+P(A^c)P(B|A^c)$.
(ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴۵–۱۴۶)
پس:
$P(B)=0.85+(1-0.9)\times0.9=0.94$.
اکنون احتمال شرطی مورد نظر برابر است با:
$P(A|B)=\frac{0.85}{0.94}=\frac{85}{94}$.

بنابراین گزینهٔ کلید فقط با فرض تکمیلی یادشده توجیه می‌شود و از متن فعلی به‌تنهایی نتیجه نمی‌شود. با لحاظ این فرض و مطابق کلید ارائه‌شده، پاسخ: گزینهٔ ۲