سوال ۱۴۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

گام اول: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را بنویسیم.
طبق رابطه‌های مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم، مجموع ریشه‌ها برابر منفیِ نسبت ضریب جملهٔ درجهٔ اول به ضریب جملهٔ درجهٔ دوم و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر نسبت جملهٔ ثابت به ضریب جملهٔ درجهٔ دوم است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳). بنابراین برای معادلهٔ $ax^2+bx-c=0$ داریم:
$S=-\frac{b}{a},\qquad P=-\frac{c}{a}$.
دقت کنید که جملهٔ ثابت این معادله $-c$ است، نه $c$. همچنین چون $a,c>0$، داریم $\Delta=b^2+4ac>0$؛ پس همهٔ معادله‌های مورد بررسی دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارند (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۱–۱۲).

گام دوم: شرط مسئله را به رابطه‌ای میان ضرایب تبدیل کنیم.
مجموع ریشه‌ها دو واحد بیشتر از حاصل‌ضرب آن‌هاست؛ پس:
$S=P+2\Rightarrow -\frac{b}{a}=-\frac{c}{a}+2\Rightarrow c=b+2a$.

گام سوم: ضرایب مجاز را بشماریم.
چون $1\le c\le9$ و $b\ge1$، باید:
$b+2a\le9\Rightarrow 1\le b\le9-2a$.
برای اینکه دست‌کم یک مقدار مجاز برای $b$ وجود داشته باشد، لازم است $9-2a\ge1$؛ بنابراین $a\in\{1,2,3,4\}$.
اکنون برای هر مقدار $a$، با انتخاب $b$، مقدار $c=b+2a$ به‌طور یکتا تعیین می‌شود:

• اگر $a=1$، آنگاه $b\in\{1,\ldots,7\}$؛ پس $7$ حالت داریم.
• اگر $a=2$، آنگاه $b\in\{1,\ldots,5\}$؛ پس $5$ حالت داریم.
• اگر $a=3$، آنگاه $b\in\{1,2,3\}$؛ پس $3$ حالت داریم.
• اگر $a=4$، فقط $b=1$ و در نتیجه $c=9$ مجاز است؛ پس $1$ حالت داریم.

بنابراین تعداد معادله‌های موردنظر برابر است با:
$7+5+3+1=16$.

پاسخ: گزینهٔ ۳