سوال ۱۱۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ دوم را پیدا می‌کنیم.
طبق رابطه‌های کتاب، در معادلهٔ $Ax^2+Bx+C=0$، مجموع ریشه‌ها $-\frac BA$ و حاصل‌ضرب آن‌ها $\frac CA$ است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳).
اگر ریشه‌های معادلهٔ $2ax^2+ax-6=0$ را $\alpha$ و $\beta$ بنامیم، با توجه به $a\ne0$ داریم:
$\alpha+\beta=-\frac{a}{2a}=-\frac12$
$\alpha\beta=\frac{-6}{2a}=-\frac3a$

گام دوم: با مقایسهٔ مجموع ریشه‌ها، مقدار $a$ را به دست می‌آوریم.
طبق صورت سؤال، ریشه‌های معادلهٔ $2x^2-ax+b=0$ برابر $\alpha+\frac12$ و $\beta+\frac12$ هستند. بنابراین مجموع آن‌ها برابر است با:
$\left(\alpha+\frac12\right)+\left(\beta+\frac12\right)=\alpha+\beta+1=-\frac12+1=\frac12$
از سوی دیگر، مجموع ریشه‌های معادلهٔ اول $\frac a2$ است؛ پس:
$\frac a2=\frac12\ \Rightarrow\ a=1$

گام سوم: با مقایسهٔ حاصل‌ضرب ریشه‌ها، مقدار $b$ را می‌یابیم.
با جای‌گذاری $a=1$، داریم $\alpha\beta=-3$. در نتیجه:
$\left(\alpha+\frac12\right)\left(\beta+\frac12\right)=\alpha\beta+\frac12(\alpha+\beta)+\frac14$
$=-3+\frac12\left(-\frac12\right)+\frac14=-3$
حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ اول برابر $\frac b2$ است، پس:
$\frac b2=-3\ \Rightarrow\ b=-6$

گام چهارم: جزء صحیح عبارت را محاسبه می‌کنیم.
$\frac{ab}{4}=\frac{1\times(-6)}4=-\frac32$
نماد کروشه در این سؤال بیانگر جزء صحیح، یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی عدد موردنظر است. چون $-2\le-\frac32<-1$، داریم:
$\left[\frac{ab}{4}\right]=-2$

پاسخ: گزینهٔ ۳