دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۱۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۶ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۶ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · سوال ۱۱۶ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۱: هندسۀ تحلیلی و جبر

معادله 2x−3=x+x−2−2−x\sqrt{2x-3}=\sqrt{x+\sqrt{x-2}}-\sqrt{2-x} چند ریشه حقیقی دارد؟

  1. گزینهٔ ۱: 33
  2. گزینهٔ ۲: 22
  3. گزینهٔ ۳: 11
  4. گزینهٔ ۴: صفر
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

برای تعیین تعداد ریشه‌ها، ابتدا دامنه را پیدا می‌کنیم و سپس مقدارهای مجاز را در معادلهٔ اصلی می‌آزماییم. طبق کتاب، حتی مقدارهای درون دامنه نیز تنها هنگامی پذیرفته می‌شوند که در معادلهٔ اصلی صدق کنند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۲۲–۲۳).

گام اول: تعیین دامنه
برای حقیقی‌بودن رادیکال‌های x−2\sqrt{x-2} و 2−x\sqrt{2-x} باید هم‌زمان داشته باشیم:
{x−2≥02−x≥0⇒{x≥2x≤2\begin{cases}x-2\geq 0\\2-x\geq 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}x\geq 2\\x\leq 2\end{cases}
پس تنها مقدار ممکن، x=2x=2 است. این مقدار شرط تعریف دو رادیکال دیگر را نیز برقرار می‌کند، زیرا:
2x−3=1≥0,x+x−2=2≥0.2x-3=1\geq 0,\qquad x+\sqrt{x-2}=2\geq 0.
بنابراین دامنهٔ معادله فقط شامل x=2x=2 است.

گام دوم: بررسی تنها نامزد در معادلهٔ اصلی
با جای‌گذاری x=2x=2، طرف چپ برابر است با:
2(2)−3=1.\sqrt{2(2)-3}=1.
طرف راست نیز برابر است با:
2+2−2−2−2=2.\sqrt{2+\sqrt{2-2}}-\sqrt{2-2}=\sqrt{2}.
چون 1≠21\neq\sqrt{2}، تنها مقدار مجازِ دامنه نیز جواب معادله نیست. پس معادله هیچ ریشهٔ حقیقی ندارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با توان‌دوم‌کردن‌های پیاپی و شمردن جواب‌های اضافی، سه ریشه به دست آورید؛ اما هر ریشه باید هم در دامنه باشد و هم در معادلهٔ اصلی صدق کند، درحالی‌که این معادله فقط یک نامزد در دامنه دارد.
  • گزینهٔ ۲: ممکن است پس از حذف رادیکال‌ها، دو جوابِ یک معادلهٔ حاصل را ریشه‌های معادلهٔ اصلی بدانید. این شمارش بدون بررسی دامنه معتبر نیست؛ شرط‌های دو رادیکالِ دارای عبارت‌های x−2x-2 و 2−x2-x تنها یک مقدار را مجاز می‌کنند.
  • گزینهٔ ۳: اگر مقدار x=2x=2 را صرفاً به دلیل قرارداشتن در دامنه، جواب حساب کنید، به یک ریشه می‌رسید؛ اما با جای‌گذاری آن، دو طرف معادله برابر نمی‌شوند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. پیش از توان‌دوم‌کردن، شرط تعریف رادیکال‌های با فرجهٔ دو را یادآوری کنید. همچنین، قرارداشتن در دامنه به‌تنهایی برای جواب‌بودن کافی نیست.
  2. دو رادیکالِ x−2\sqrt{x-2} و 2−x\sqrt{2-x} را هم‌زمان بررسی کنید؛ نامنفی‌بودن عبارت‌های زیر آن‌ها، دو محدودیت در جهت مخالف ایجاد می‌کند.
  3. اشتراک این دو محدودیت فقط یک مقدار دارد. آن مقدار را در معادلهٔ اصلی جای‌گذاری کنید و مقدار طرف چپ را با طرف راست مقایسه کنید.

ریاضی ۲ · فصل ۱: هندسۀ تحلیلی و جبر

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «هندسۀ تحلیلی و جبر» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری