نمونه سوال فصل ۱ ریاضی یازدهم با جواب

فاصلهٔ یک نقطه از خط، با پاره‌خط عمود بر آن خط اندازه‌گیری می‌شود (صفحهٔ ۸). چون $AH\perp L$ و دو نقطهٔ $H$ و $B$ روی خط قرار دارند، مثلث $AHB$ در رأس $H$ قائم‌الزاویه است. بنابراین $AB$ وتر این مثلث است و از ضلع $AH$ بلندتر خواهد بود؛ پس $AH<AB$. پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از رابطهٔ نقطهٔ وسط داریم $M\left(\frac{-3+5}{2},\frac{4-2}{2}\right)=(1,1)$ (صفحهٔ ۷). خط داده‌شده به صورت $y=\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$ نوشته می‌شود؛ بنابراین شیب هر خط موازی با آن نیز $\frac{3}{2}$ است (صفحهٔ ۳). اگر معادلهٔ خط مطلوب $y=\frac{3}{2}x+h$ باشد، با قرار دادن مختصات $M$ داریم $1=\frac{3}{2}+h$؛ پس $h=-\frac{1}{2}$. پاسخ: گزینهٔ ۲

نقطهٔ مطلوب را $P(t,0)$ می‌نامیم. با استفاده از فرمول فاصلهٔ دو نقطه و برابری فاصله‌ها داریم $(t+1)^2+(0-2)^2=(t-5)^2+(0-4)^2$ (صفحهٔ ۵). بنابراین $t^2+2t+5=t^2-10t+41$ و در نتیجه $12t=36$؛ پس طول نقطهٔ مطلوب $t=3$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳

اگر $k\ne1$ باشد، شیب دو خط به‌ترتیب $m_L=-\frac{k-1}{2}$ و $m_T=-\frac{1}{k-1}$ است. بنابراین $m_Lm_T=\frac{1}{2}$ و شرط عمود بودن، یعنی حاصل‌ضرب برابر با $-1$، برقرار نمی‌شود (صفحهٔ ۳). حالت $k=1$ را جداگانه بررسی می‌کنیم: دو معادله به $y=3$ و $x=3$ تبدیل می‌شوند. این دو خط، یکی افقی و دیگری عمودی است؛ پس بر هم عمودند (صفحهٔ ۴). پاسخ: گزینهٔ ۴

فرض می‌کنیم $B(u,v)$ باشد؛ پس $u-2v=9$. با توجه به فرمول نقطهٔ وسط، $M\left(\frac{1+u}{2},\frac{3+v}{2}\right)$ است (صفحهٔ ۷). بنابراین $x_M-2y_M=\frac{1+u-2(3+v)}{2}=\frac{u-2v-5}{2}=2$. فاصلهٔ این نقطه از خط $x-2y=0$ برابر است با $d=\frac{|x_M-2y_M|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ (صفحهٔ ۸). این مقدار به انتخاب نقطهٔ $B$ وابسته نیست. پاسخ: گزینهٔ ۱

نقطهٔ دارای کمترین فاصله، پای عمود رسم‌شده از $P$ بر $L$ است (صفحهٔ ۸). شیب خط $L$ برابر $-\frac{1}{2}$ است؛ پس خط عمود بر آن شیب $2$ دارد (صفحهٔ ۳). معادلهٔ خط عمود گذرنده از $P(4,5)$ برابر $y-5=2(x-4)$، یعنی $y=2x-3$ است. با جای‌گذاری در معادلهٔ $L$ داریم $x+2(2x-3)=4$، پس $5x=10$ و $x=2$. در نتیجه $y=1$ و مجموع مختصات نقطهٔ مطلوب برابر $2+1=3$ است. پاسخ: گزینهٔ ۲

مرکز دایره، وسط قطر است؛ بنابراین $W\left(\frac{-3+5}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(1,4)$ (صفحهٔ ۷). طول قطر برابر $\sqrt{8^2+6^2}=10$ و شعاع برابر $5$ است (صفحهٔ ۵). برای مماس بودن خط، فاصلهٔ مرکز از خط باید برابر شعاع باشد؛ زیرا شعاعِ نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است (صفحهٔ ۹). با استفاده از فرمول فاصله داریم $\frac{|3(1)+4(4)+c|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5$، پس $|19+c|=25$ (صفحهٔ ۸). بنابراین $c=6$ یا $c=-44$ و مجموع این دو مقدار برابر $-38$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳

شیب خط $L$ برابر $2$ است؛ پس شیب پاره‌خط $AB$ باید $-\frac{1}{2}$ باشد (صفحهٔ ۳). بنابراین می‌توان نوشت $B(1+2t,2-t)$. نقطهٔ وسط این پاره‌خط برابر $M\left(1+t,2-\frac{t}{2}\right)$ است (صفحهٔ ۷). چون $M$ روی خط $T$ قرار دارد، داریم $(1+t)-2\left(2-\frac{t}{2}\right)=5$؛ بنابراین $2t-3=5$ و $t=4$. پس $B=(9,-2)$. اکنون فاصلهٔ $B$ از خط $L$ برابر است با $d=\frac{|2(9)-(-2)+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{25}{\sqrt{5}}=5\sqrt{5}$ (صفحهٔ ۸). پاسخ: گزینهٔ ۴

چون دهانهٔ سهمی رو به پایین است، $a<0$ و چون عرض از مبدأ مثبت است، $c>0$ خواهد بود. قرار داشتن رأس در ربع دوم نیز یعنی $x_v<0$. از رابطهٔ $x_v=-\frac{b}{2a}$ و منفی بودن مخرج نتیجه می‌شود که علامت $x_v$ با علامت $b$ یکسان است؛ پس $b<0$. همچنین $ac<0$، بنابراین $\Delta=b^2-4ac>0$ و معادله دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد. حاصل‌ضرب این ریشه‌ها برابر $\frac{c}{a}<0$ است، پس ریشه‌ها ناهم‌علامت‌اند. (صفحه‌های ۱۶ تا ۱۸) پاسخ: گزینهٔ ۲

با تغییر متغیر $u=(x-1)^2$، معادله به صورت $u^2-5u+4=0$ درمی‌آید. بنابراین $(u-1)(u-4)=0$ و در نتیجه $u=1$ یا $u=4$. از $(x-1)^2=1$، جواب‌های $x=0$ و $x=2$ و از $(x-1)^2=4$، جواب‌های $x=-1$ و $x=3$ به دست می‌آیند. تنها ریشه‌های مثبت، $2$ و $3$ هستند و حاصل‌ضرب آن‌ها برابر $2\times3=6$ است. (صفحهٔ ۱۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

دامنهٔ معادله شرط $x\ne2$ را ایجاب می‌کند. با ضرب طرفین در $x-2$، به معادلهٔ $x^2-5x+6-m=0$ می‌رسیم که ممیّز آن $\Delta=25-4(6-m)=1+4m$ است. اگر $\Delta=0$ باشد، $m=-\frac14$ و تنها ریشهٔ معادله $x=\frac52$ است که مجاز است. اگر $\Delta>0$ باشد، برای آنکه فقط یک جواب پذیرفته شود باید یکی از دو ریشه برابر مقدار غیرمجاز $2$ باشد. با جای‌گذاری $x=2$ در معادلهٔ درجهٔ دوم، $-m=0$ و در نتیجه $m=0$ به دست می‌آید. در این حالت ریشه‌ها $2$ و $3$ هستند و فقط $3$ پذیرفته می‌شود. برای $\Delta<0$ هیچ جواب حقیقی وجود ندارد. بنابراین مجموع مقادیر متمایز پارامتر برابر $-\frac14+0=-\frac14$ است. (صفحه‌های ۱۶ و ۲۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

برای تابع $f_t(x)=x^2-2tx+2t^2+1$، طول رأس برابر $x_v=-\frac{-2t}{2}=t$ است. عرض رأس نیز $f_t(t)=t^2-2t^2+2t^2+1=t^2+1$ خواهد بود؛ پس رأس سهمی نقطهٔ $V(t,t^2+1)$ است. با استفاده از فرمول فاصلهٔ نقطه از خط داریم: $d(t)=\frac{|2t-(t^2+1)-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|-t^2+2t-3|}{\sqrt5}$. چون $-t^2+2t-3=-((t-1)^2+2)<0$، نتیجه می‌شود $d(t)=\frac{(t-1)^2+2}{\sqrt5}$. عبارت مربع‌شده نامنفی است و در $t=1$ صفر می‌شود؛ بنابراین کمترین فاصله برابر $\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}$ است. (صفحه‌های ۸ و ۱۴) پاسخ: گزینهٔ ۳