سوال ۱۳۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم دربارهٔ صورت سؤال: معادلهٔ ارسال‌شده به شکل $r+4a^2+\sqrt{2a^2+3a}=2$ است، اما نماد $r$ تعریف نشده است. بنابراین صورت فعلی برای تعیین یکتای نسبت کافی نیست و احتمال خطای تایپی یا تبدیل متن وجود دارد.

گام اول: بررسی شرایط تعریف عبارت‌ها
برای تعریف رادیکال باید $2a^2+3a\geq0$ باشد؛ پس $a\leq-\frac{3}{2}$ یا $a\geq0$. همچنین برای تعریف نسبت خواسته‌شده باید $a\neq0$ باشد. توجه به دامنه و بررسی جواب در معادلهٔ اولیه، از اصول حل معادلات گویا و رادیکالی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۹ و صفحه‌های ۲۲–۲۳).

گام دوم: بررسی امکان تعیین مجهول
از معادلهٔ داده‌شده داریم:
$r=2-4a^2-\sqrt{2a^2+3a}$.
پس برای هر مقدار مجاز و ناصفر از $a$، می‌توان مقداری حقیقی برای $r$ تعیین کرد تا معادله برقرار شود. در نتیجه، بدون داده‌ای دیگر دربارهٔ $r$، مقدار $a$ و نسبت خواسته‌شده یکتا نیست.

گام سوم: بررسی مقدار سازگار با کلید اعلام‌شده
گزینهٔ چهارم مقدار $4.5=\frac{9}{2}$ را پیشنهاد می‌کند. اگر این مقدار را برای نسبت بپذیریم، داریم:
$\frac{a+1}{a}=\frac{9}{2}\Rightarrow1+\frac{1}{a}=\frac{9}{2}\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{7}{2}\Rightarrow a=\frac{2}{7}$.
این مقدار در دامنه قرار دارد، اما معادله فقط در صورتی برقرار می‌شود که:
$r=2-\frac{16}{49}-\frac{\sqrt{46}}{7}$.
چنین مقداری برای $r$ در سؤال داده نشده است؛ بنابراین این محاسبه صرفاً سازگاری گزینهٔ چهارم با یک مقدار خاص از $r$ را نشان می‌دهد، نه درستی انحصاری آن را.

جمع‌بندی: کلید اعلام‌شده گزینهٔ چهارم است، اما اثبات آن از صورت فعلی سؤال ممکن نیست؛ برای ارائهٔ حل قطعی، باید صورت صحیح معادله مشخص شود.

پاسخ: گزینهٔ ۴