سوال ۱۳۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. تعیین مختصات نقطهٔ برخورد
روی محور عرض‌ها، طول نقطه صفر است؛ بنابراین:
$x=0\Rightarrow y=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}$
پس نقطهٔ موردنظر $A(0,\sqrt{2})$ است.

۲. بررسی دو بخش نمودار
با استفاده از تعریف قدرمطلق داریم:
$y=x+|x|=\begin{cases}2x&x\geq0\\0&x<0\end{cases}$
پس نمودار شامل نیم‌خطی از خط $y=2x$ در سمت راست مبدأ و نیم‌محور افقیِ سمت چپ مبدأ است.

۳. فاصله تا بخش افقی
برای هر نقطهٔ $P(x,0)$ با $x\leq0$، طبق فرمول فاصلهٔ دو نقطه داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴–۵):
$AP=\sqrt{(x-0)^2+(0-\sqrt{2})^2}=\sqrt{x^2+2}\geq\sqrt{2}$
بنابراین کمترین فاصله تا این بخش، در مبدأ و برابر $\sqrt{2}$ است.

۴. فاصله تا بخش مایل
فاصلهٔ نقطهٔ $A(x_0,y_0)$ از خط $ax+by+c=0$ از رابطهٔ زیر به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸):
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
برای خط $2x-y=0$ داریم:
$d=\frac{|2(0)-\sqrt{2}|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
باید مطمئن شویم پای عمود روی نیم‌خطِ موردنظر قرار دارد. شیب خط مایل $2$ است؛ پس معادلهٔ عمود گذرنده از نقطهٔ داده‌شده چنین است:
$y=-\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$
از تقاطع آن با خط $y=2x$ به دست می‌آید:
$2x=-\frac{1}{2}x+\sqrt{2}\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{2}}{5}>0$
پس پای عمود روی همان نیم‌خط قرار دارد و فاصلهٔ محاسبه‌شده معتبر است.

۵. مقایسهٔ دو فاصله
چون $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}<\sqrt{2}$، کمترین فاصلهٔ نقطه تا کل نمودار برابر است با:
$d_{\min}=\frac{\sqrt{10}}{5}=0.2\sqrt{10}$
پاسخ: گزینهٔ ۳