سوال ۱۳۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: استفاده از خاصیت قطرهای مستطیل

در مستطیل $ABCD$، قطرهای $AC$ و $BD$ یکدیگر را نصف می‌کنند؛ این خاصیت در تمرین مربوط به مختصات رأس چهارم مستطیل نیز یادآوری شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۹). بنابراین مختصات وسط این دو قطر برابر است:

$\left(\frac{-1+x}{2},\frac{4+y}{2}\right)=\left(\frac{3+(-1-x)}{2},\frac{1+(y+3)}{2}\right)$

برابری مؤلفه‌های طولی می‌دهد:

$-1+x=2-x\quad\Rightarrow\quad 2x=3\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{2}$

برابری مؤلفه‌های عرضی به تساوی $4+y=y+4$ می‌انجامد و اطلاعات تازه‌ای نمی‌دهد. پس فعلاً داریم:

$C\left(\frac{3}{2},y\right)$

گام دوم: استفاده از عمود بودن ضلع‌های متوالی

شیب ضلع $AB$ برابر است با:

$m_{AB}=\frac{1-4}{3-(-1)}=-\frac{3}{4}$

چون $AB$ و $BC$ بر هم عمودند، حاصل‌ضرب شیب‌های آن‌ها برابر $-1$ است؛ بنابراین:

$m_{BC}=\frac{4}{3}$

از مختصات دو نقطۀ $B$ و $C$ نیز داریم:

$m_{BC}=\frac{y-1}{\frac{3}{2}-3}=\frac{y-1}{-\frac{3}{2}}$

پس:

$\frac{y-1}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad y-1=-2\quad\Rightarrow\quad y=-1$

در نتیجه، مختصات رأس سوم برابر است با:

$C\left(\frac{3}{2},-1\right)$

گام سوم: محاسبۀ طول ضلع‌ها و محیط

طبق فرمول فاصلۀ دو نقطه، باید مجموع مربع اختلاف مؤلفه‌ها را زیر رادیکال قرار دهیم (ریاضی ۲، صفحه‌های ۴–۵):

$AB=\sqrt{(3+1)^2+(1-4)^2}=\sqrt{16+9}=5$

$BC=\sqrt{\left(\frac{3}{2}-3\right)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$

محیط مستطیل دو برابر مجموع طول دو ضلع متوالی است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳):

$P=2(AB+BC)=2\left(5+\frac{5}{2}\right)=15$

پاسخ: گزینهٔ ۳