سوال ۱۳۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

برای حل، از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم؛ درست مانند مثال انتقال مهره بین دو ظرف، باید حالت‌های ممکنِ انتقال را جداگانه بررسی و احتمال مسیرهای منتهی به انتخاب مهرهٔ آبی را جمع کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴۸).

گام اول: شمارش مهره‌ها
جعبهٔ $A$ در ابتدا $6+4+5=15$ مهره و جعبهٔ $B$ در ابتدا $5+3+6=14$ مهره دارد. بنابراین پس از انتقال، تعداد مهره‌های جعبهٔ $B$ برابر $15$ است.

گام دوم: بررسی دو حالت انتقال
پیشامد انتقال مهرهٔ آبی را با $T$ و پیشامد انتخاب مهرهٔ آبی از جعبهٔ $B$ را با $E$ نشان می‌دهیم.

• اگر مهرهٔ منتقل‌شده آبی باشد، احتمال این انتقال $P(T)=\frac{6}{15}$ است. در این حالت، جعبهٔ $B$ دارای $6$ مهرهٔ آبی از مجموع $15$ مهره است؛ پس $P(E\mid T)=\frac{6}{15}$.

• اگر مهرهٔ منتقل‌شده غیرآبی، یعنی سبز یا قرمز باشد، احتمال این انتقال $P(T^c)=\frac{4+5}{15}=\frac{9}{15}$ است. در این حالت، تعداد مهره‌های آبی جعبهٔ $B$ همان $5$ باقی می‌ماند؛ پس $P(E\mid T^c)=\frac{5}{15}$.

گام سوم: استفاده از قانون احتمال کل
دو حالت بالا ناسازگارند و همهٔ حالت‌های انتقال را پوشش می‌دهند؛ بنابراین، طبق قانون احتمال کل (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۴۷–۱۴۸):

$P(E)=P(T)P(E\mid T)+P(T^c)P(E\mid T^c)$

$P(E)=\frac{6}{15}\times\frac{6}{15}+\frac{9}{15}\times\frac{5}{15}=\frac{36+45}{225}=\frac{81}{225}=0.36$

پاسخ: گزینهٔ ۱