نمونه سوال ریاضی دوازدهم با جواب

برای اینکه درجهٔ تابع دقیقاً سه باشد، باید $a^2-4=0$ و $a-2\ne0$ باشد. شرط نخست، $a=2$ یا $a=-2$ را می‌دهد. اگر $a=2$ باشد، جملهٔ درجهٔ سوم نیز حذف می‌شود؛ اما برای $a=-2$، ضریب آن برابر $-4$ و ناصفر است. بنابراین فقط $a=-2$ پذیرفتنی است. (صفحهٔ ۲) پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر $x_1<x_2$ دو عضو دلخواه بازه باشند، صعودی بودن می‌دهد $f(x_1)\le f(x_2)$ و نزولی بودن می‌دهد $f(x_1)\ge f(x_2)$. پس $f(x_1)=f(x_2)$ و تابع روی بازه ثابت است. تابع ثابت همچنین نشان می‌دهد صعودی بودن الزاماً به معنی یک‌به‌یک بودن یا یکنوایی اکید نیست. از سوی دیگر، هر تابع اکیداً نزولی، نزولی نیز هست. (صفحه‌های ۶ تا ۹) پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تابعی به شکل $a\sin bx+c$، ماکزیمم برابر $|a|+c$، مینیمم برابر $-|a|+c$ و دوره برابر $\frac{2\pi}{|b|}$ است (صفحهٔ ۳۵). در اینجا $a=-4$، $b=3$ و $c=2$؛ بنابراین $\max f=4+2=6$، $\min f=-4+2=-2$ و $T=\frac{2\pi}{3}$ است. پاسخ: گزینهٔ 2

از ماکزیمم و مینیمم داریم $c=\frac{8+(-2)}{2}=3$ و $|a|=\frac{8-(-2)}{2}=5$. چون $a<0$، پس $a=-5$ است (صفحهٔ ۳۵). تابع در $x=0$ مینیمم دارد و نخستین ماکزیمم مثبت آن پس از نصف دوره رخ می‌دهد؛ بنابراین $\frac{T}{2}=\frac{3\pi}{4}$ و $T=\frac{3\pi}{2}$ است. این روش تعیین علامت ضریب و دوره از ویژگی‌های نمودار در صفحات ۳۵ تا ۳۷ مطرح شده است. پس نقطهٔ خواسته‌شده یک دوره با مبدأ فاصله دارد و $f(\frac{3\pi}{2})=f(0)=-5+3=-2$. پاسخ: گزینهٔ 4

برای ورودی‌های ناصفرِ نزدیک به صفر، مقدار $x^2$ مثبت و بسیار کوچک است؛ بنابراین $\frac{1}{x^2}$ می‌تواند از هر عدد مثبت دلخواه بزرگ‌تر شود. نوشتن $\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty$ توصیف همین رفتار است و به معنای وجود یک حد حقیقی یا تعریف مقدار تابع در صفر نیست. (صفحهٔ ۵۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

چون مخرج در $x=2$ صفر است و حد داده‌شده حقیقی است، صورت نیز باید در این نقطه صفر شود؛ پس $8+2a+b=0$ و در نتیجه $b=-8-2a$. با استفاده از رابطهٔ تقسیم داریم $x^3+ax+b=(x-2)(x^2+2x+a+4)$. بنابراین، با حذف عامل مشترک، حد برابر است با $\frac{a+12}{3}$. از $\frac{a+12}{3}=5$ نتیجه می‌شود $a=3$ و سپس $b=-14$. پس $a+b=-11$. این حل بر رابطهٔ باقیمانده و حذف عامل مشترک استوار است. (صفحه‌های ۵۰ و ۵۱) پاسخ: گزینهٔ ۳

طبق قضیهٔ ارتباط مشتق‌پذیری و پیوستگی، وجود مشتق در یک نقطه، پیوستگی در همان نقطه را نتیجه می‌دهد؛ بنابراین با استفاده از عکس نقیض، ناپیوستگی مانع مشتق‌پذیری است. عکس این قضیه برقرار نیست و ممکن است تابعی پیوسته باشد ولی مشتق نداشته باشد. همچنین حد تعریف مشتق باید متناهی باشد؛ پس برابری دو حد یک‌طرفه با بی‌نهایت کافی نیست. (صفحهٔ ۷۷ تا ۸۰) پاسخ: گزینهٔ ۲

با قرار دادن ضابطهٔ تابع در عبارت حد داریم: $\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=\frac{(1+2h)^2-(1-h)^2}{h}$. صورت برابر است با $(1+4h+4h^2)-(1-2h+h^2)=6h+3h^2$. بنابراین برای $h\ne0$، نسبت موردنظر برابر با $6+3h$ است و حد آن هنگام $h\to0$ برابر با $6$ می‌شود. این ساده‌سازی همان روش محاسبهٔ حد نسبت‌های تفاضلی است. (صفحهٔ ۷۳ و ۷۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

نقطهٔ بحرانی لزوماً نقطهٔ اکسترمم نسبی نیست. برای نمونه، تابع $f(x)=x^3$ در $x=0$ مشتق صفر دارد، اما در دو سوی این نقطه صعودی است و در آن اکسترمم نسبی ندارد. همچنین وجود اکسترمم نسبی، وجود مشتق را تضمین نمی‌کند؛ فقط اگر مشتق موجود باشد، مقدار آن صفر است. این تمایزها در تعریف نقاط بحرانی و بررسی عکس قضیهٔ مربوط به اکسترمم آمده‌اند (صفحهٔ ۱۰۶ و ۱۰۷). پاسخ: گزینهٔ ۱

مشتق تابع برابر است با $f'(x)=3x^2-6ax+12=3\big((x-a)^2+4-a^2\big)$. چون $(x-a)^2\geq0$ و در $x=a$ صفر می‌شود، کمترین مقدار مشتق برابر $3(4-a^2)$ است. بنابراین شرط مثبت بودن مشتق در همهٔ نقاط، $4-a^2>0$ است که نتیجه می‌دهد $-2<a<2$. مثبت بودن مشتق، طبق آزمون یکنوایی، صعودی بودن اکید تابع را نیز تضمین می‌کند (صفحهٔ ۱۰۳ و ۱۰۴). پاسخ: گزینهٔ ۳

صفحه‌ای که بر محور عمود است و از رأس نمی‌گذرد، دایره ایجاد می‌کند. موازی بودن صفحه با یکی از وضعیت‌های مولد، با فرض نگذشتن از رأس، به تشکیل سهمی می‌انجامد. همچنین، اگر صفحه هر دو بخش سطح مخروطی را قطع کند، مقطع هذلولی است. پس ترتیب خواسته‌شده دایره، سهمی و هذلولی است. (صفحه‌های ۱۲۶ و ۱۲۷) پاسخ: گزینهٔ ۳

در فعالیت نخست، فرد تصویر جسم را در ذهن تغییر می‌دهد و در فعالیت دوم، با رسم گسترده، ساختار جسم را بررسی می‌کند. تفکر تجسمی به تصویرسازی کاملاً ذهنی محدود نیست و می‌تواند با قلم و کاغذ نیز انجام شود؛ بنابراین هر دو فعالیت در این دسته قرار می‌گیرند. (صفحهٔ ۱۲۲) پاسخ: گزینهٔ ۱

ناسازگاری یعنی $P(A\cap B)=0$. چون $P(B)>0$، داریم $P(A\mid B)=\frac{0}{P(B)}=0$. از طرف دیگر، مثبت بودن احتمال هر دو پیشامد نتیجه می‌دهد $P(A)P(B)>0$؛ بنابراین شرط استقلال برقرار نیست. همچنین ناسازگاری به‌تنهایی مجموع احتمال‌ها را برابر یک نمی‌کند. (صفحهٔ ۱۴۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر $A$ پیشامد عبور از مسیر اول و $F$ پیشامد خرابی باشد، با قرار دادن $P(A)=p$، قانون احتمال کل می‌دهد: $P(F)=\frac{1}{10}p+\frac{2}{5}(1-p)=\frac{11}{50}$. پس $\frac{2}{5}-\frac{3}{10}p=\frac{11}{50}$ و در نتیجه $\frac{3}{10}p=\frac{9}{50}$؛ بنابراین $p=\frac{3}{5}$. (صفحهٔ ۱۴۶) پاسخ: گزینهٔ ۴