سوال ۱۵۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول: تعیین ابعاد و تابع مساحت
چون دو ضلع مستطیل روی محورهای مختصات‌اند، یک رأس آن مبدأ است. اگر رأس مقابل مبدأ را $(x,y)$ بگیریم، طول و عرض مستطیل برابر $x$ و $y$ خواهند بود. این رأس روی منحنی قرار دارد؛ پس:
$y=\sqrt{12-x}$
بنابراین تابع مساحت برابر است با:
$S(x)=xy=x\sqrt{12-x}$
برای مستطیل غیرمنحط در ناحیهٔ اول، داریم $0<x<12$. برای بررسی بیشینهٔ مطلق می‌توان دو حالت مرزی را نیز افزود و تابع را روی $[0,12]$ بررسی کرد؛ در هر دو انتها، مساحت صفر است. تبدیل مساحت به تابعی از یک متغیر و بررسی نقاط بحرانی و دو سر بازه، همان روش بهینه‌سازی کتاب است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).

گام دوم: یافتن نقطهٔ بحرانی
در بازهٔ $0<x<12$ مشتق می‌گیریم:
$S'(x)=\sqrt{12-x}-\frac{x}{2\sqrt{12-x}}=\frac{24-3x}{2\sqrt{12-x}}$
مخرج در این بازه مثبت است؛ بنابراین:
$S'(x)=0\Rightarrow24-3x=0\Rightarrow x=8$

گام سوم: اثبات بیشینه بودن
برای $0<x<8$ مشتق مثبت و برای $8<x<12$ مشتق منفی است. پس مساحت تا $x=8$ افزایش و پس از آن کاهش می‌یابد. این تغییر علامت از مثبت به منفی، مطابق آزمون مشتق اول، نشان‌دهندهٔ ماکزیمم است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۰۸–۱۰۹). با توجه به صفر بودن مساحت در دو سر بازه، این مقدار بیشینهٔ مطلق نیز هست.

گام چهارم: محاسبهٔ بیشترین مساحت
عرض متناظر با طول بهینه برابر است با:
$y=\sqrt{12-8}=2$
پس:
$S_{\max}=8\times2=16$
دقت کنید که قید این مسئله، قرارگرفتن رأس روی منحنی است، نه ثابت‌بودن محیط؛ بنابراین نمی‌توان نتیجهٔ مربوط به مربع در مستطیل‌های هم‌محیط را مستقیماً به این مسئله تعمیم داد.

پاسخ: گزینهٔ ۳