سوال ۱۵۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۵۰ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۳۹۸، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۵۰ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۳۹۸ · سوال ۱۵۰ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۵: کاربرد مشتق

در تابع با ضابطهٔ $f(x)=x|x-4|$ ، فاصلهٔ دو نقطهٔ ماکسیمم نسبی و می‌نیمم نسبی آن، کدام است؟

گزینهٔ ۱: $\sqrt{5}$
گزینهٔ ۲: $2\sqrt{2}$
گزینهٔ ۳: $3\sqrt{2}$
گزینهٔ ۴: $2\sqrt{5}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: حذف قدر مطلق
با توجه به علامت عبارت داخل قدر مطلق داریم:
$f(x)=\begin{cases}4x-x^2&x<4,\\x^2-4x&x\ge4.\end{cases}$

گام دوم: بررسی تغییرات تابع
مطابق بحث اکسترمم‌های نسبی، تغییر رفتار تابع از صعودی به نزولی نشان‌دهندهٔ ماکسیمم نسبی و تغییر از نزولی به صعودی نشان‌دهندهٔ مینیمم نسبی است. همچنین، نبودن مشتق در یک نقطه مانع اکسترمم‌بودن آن نیست (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵).
برای دو قسمت تابع داریم:
$f'(x)=\begin{cases}4-2x&x<4,\\2x-4&x>4.\end{cases}$
در قسمت اول، $4-2x=0$ نتیجه می‌دهد $x=2$ که در محدودهٔ همان ضابطه است. مشتق در بازهٔ $(-\infty,2)$ مثبت و در بازهٔ $(2,4)$ منفی است؛ بنابراین تابع در $x=2$ ماکسیمم نسبی دارد.
در قسمت دوم، برای تمام $x>4$ مشتق مثبت است. ریشهٔ عبارت $2x-4$ یعنی $x=2$ در محدودهٔ این قسمت نیست و از این ضابطه نقطهٔ بحرانی جدیدی به دست نمی‌آید.

گام سوم: بررسی نقطهٔ اتصال
تابع در $x=4$ پیوسته است و مقدار آن $f(4)=0$ است. تابع در سمت چپ این نقطه نزولی و در سمت راست آن صعودی است؛ پس در $x=4$ مینیمم نسبی دارد. توجه کنید که مشتق‌های یک‌طرفه در این نقطه برابر نیستند: $f'_-(4)=-4$ و $f'_+(4)=4$ ؛ بنابراین اگر فقط صفرهای مشتق را بررسی کنیم، این مینیمم را از دست می‌دهیم.

گام چهارم: تعیین مختصات و محاسبهٔ فاصله
عرض نقطهٔ ماکسیمم برابر است با:
$f(2)=2|2-4|=4$ .
پس دو نقطهٔ موردنظر عبارت‌اند از $A(2,4)$ و $B(4,0)$ . سؤال فاصلهٔ دو نقطه را می‌خواهد، نه صرفاً اختلاف طول‌ها یا اختلاف مقادیر اکسترمم. بنابراین:
$AB=\sqrt{(4-2)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5$ .

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است پس از رسیدن به $\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}$ ، ضریب $2$ را هنگام خارج‌کردن عامل مربع کامل از رادیکال جا بیندازید و به $\sqrt5$ برسید؛ این ساده‌سازی نادرست است.
گزینهٔ ۲: اگر اختلاف عرض دو نقطه را نیز مانند اختلاف طول آن‌ها برابر $2$ بگیرید، به $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$ می‌رسید؛ درحالی‌که اختلاف عرض دو نقطه برابر $4$ است.
گزینهٔ ۳: ممکن است با اشتباه در تعیین مختصات نقاط، اختلاف طول و اختلاف عرض را هر دو $3$ بگیرید و به $3\sqrt2$ برسید؛ اما اختلاف‌های درست به‌ترتیب $2$ و $4$ هستند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف اکسترمم نسبی و ارتباط آن با تغییر رفتار تابع از صعودی به نزولی یا برعکس را مرور کنید. نقطه‌ای که مشتق ندارد نیز ممکن است اکسترمم نسبی باشد.
قدر مطلق را در دو ناحیهٔ $x<4$ و $x\ge4$ باز کنید؛ سپس هم صفرهای معتبر مشتق و هم نقطهٔ اتصال دو ضابطه را بررسی کنید.
پس از تعیین نوع اکسترمم‌ها، عرض هر نقطه را از تابع اصلی به دست آورید و مختصات کامل آن‌ها را در رابطهٔ $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ قرار دهید.

فصل «کاربرد مشتق» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.