سوال ۱۴۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

گام اول: قرینه‌سازی نسبت به خط $y=x$
در قرینه‌سازی نسبت به این خط، جای طول و عرض هر نقطه عوض می‌شود؛ پس نمودار حاصل، نمودار وارون تابع اولیه است. روش محاسبهٔ ضابطهٔ وارون در درس دوم فصل تابع آمده است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۶۲–۶۴).

در معادلهٔ اولیه جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم:
$y=2+\sqrt{x-1}\quad\Longrightarrow\quad x=2+\sqrt{y-1}$
پس:
$x-2=\sqrt{y-1}$
چون مقدار رادیکال نامنفی است، باید $x\geq 2$ باشد. اکنون دو طرف را به توان دو می‌رسانیم:
$(x-2)^2=y-1\quad\Longrightarrow\quad y=(x-2)^2+1$
بنابراین تابع حاصل از قرینه‌سازی را به‌صورت زیر می‌نویسیم:
$h(x)=(x-2)^2+1,\qquad x\geq 2$
این نمودار، بخش سمت راست سهمی با رأس $(2,1)$ است، نه کل سهمی.

گام دوم: اعمال انتقال‌ها
انتقال به‌اندازهٔ $2$ واحد به راست، با جایگزینی $x-2$ به‌جای $x$ انجام می‌شود؛ انتقال به‌اندازهٔ $3$ واحد به پایین نیز با کم کردن $3$ از مقدار تابع انجام می‌شود. این قواعد با فعالیت انتقال نمودارها در کتاب سازگارند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۵۳). پس:
$g(x)=h(x-2)-3$
$g(x)=((x-2)-2)^2+1-3=(x-4)^2-2$
دامنه نیز با انتقال افقی به $x\geq 4$ تبدیل می‌شود؛ بنابراین مقدار خواسته‌شده تعریف شده است.

گام سوم: محاسبهٔ مقدار تابع
$g(4)=(4-4)^2-2=-2$

پاسخ: گزینهٔ ۳