سوال ۱۱۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۱۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۳: تابع

اگر نقطهٔ $(-\frac{1}{8},-\frac{3}{5})$ روی تابع وارون تابع $y=\frac{x}{a+a|x|}$ باشد، مقدار a کدام است؟

گزینهٔ ۱: $\frac{5}{27}$
گزینهٔ ۲: ۵
گزینهٔ ۳: ۳
گزینهٔ ۴: ۳/۵

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: استفاده از تعریف وارون
طبق تعریف وارون، اگر نقطهٔ $(u,v)$ روی نمودار $f^{-1}$ باشد، نقطهٔ $(v,u)$ روی نمودار $f$ قرار دارد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۵۷). بنابراین از دادهٔ سؤال داریم:
$(-\frac18,-\frac35)\in f^{-1}\quad\Longrightarrow\quad(-\frac35,-\frac18)\in f$ .
پس کافی است در تابع اصلی، $x=-\frac35$ و $y=-\frac18$ قرار دهیم؛ نیازی به محاسبهٔ ضابطهٔ وارون نیست.

گام دوم: محاسبهٔ قدرمطلق و جای‌گذاری
چون $|-\frac35|=\frac35$ ، داریم:
$-\frac18=\frac{-\frac35}{a+a\times\frac35}=\frac{-\frac35}{\frac{8a}{5}}=-\frac{3}{8a}$ .
توجه کنید که برای تعریف‌شدن تابع، باید $a\ne0$ باشد.

گام سوم: حل معادله
از تساوی بالا نتیجه می‌شود:
$\frac18=\frac{3}{8a}\quad\Longrightarrow\quad8a=24\quad\Longrightarrow\quad a=3$ .
این مقدار شرط $a\ne0$ را نیز برقرار می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: اگر مختصات نقطه را بدون جابه‌جایی در تابع اصلی قرار دهید، به $a=\frac{5}{27}$ می‌رسید؛ اما نقطهٔ داده‌شده روی تابع وارون است، نه روی تابع اصلی.
گزینهٔ ۲: این گزینه ممکن است بر اثر خطای محاسباتی در ساده‌کردن کسرها انتخاب شود. با قرار دادن $a=5$ در تابع اصلی، داریم $f(-\frac35)=-\frac{3}{40}$ که با مقدار لازم، یعنی $-\frac18$ ، برابر نیست.
گزینهٔ ۴: این گزینه می‌تواند حاصل حذف نادرست ضریب $5$ هنگام ساده‌کردن کسرهای مرکب باشد. با قرار دادن $a=\frac35$ ، مقدار $f(-\frac35)=-\frac58$ به دست می‌آید، نه $-\frac18$ .

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف وارون تابع را در درس دوم فصل تابع به یاد بیاورید: زوج‌های مرتب تابع و وارون آن با جابه‌جایی مؤلفه‌ها به یکدیگر تبدیل می‌شوند.
به‌جای پیدا کردن ضابطهٔ کامل وارون، از دادهٔ مسئله نتیجه بگیرید که $f(-\frac35)=-\frac18$ .
ابتدا $|-\frac35|=\frac35$ را جای‌گذاری کنید و مخرج را به صورت $\frac{8a}{5}$ بنویسید؛ سپس معادلهٔ کسری حاصل را برای $a$ حل کنید.

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.