سوال ۱۳۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

گام اول: حد عبارت داخل جزء صحیح را پیدا می‌کنیم. طبق قاعدهٔ حد سینوس، حد این تابع در هر نقطه برابر مقدار سینوس همان نقطه است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۴–۱۳۵). بنابراین با استفاده از قوانین حد داریم:
$\lim_{x\to\frac{\pi}{6}^-}(2\sin x-1)=2\sin\frac{\pi}{6}-1=2\times\frac12-1=0$.
اما نمی‌توان بدون بررسی جهت نزدیک‌شدن، جزء صحیحِ این حد را پاسخ دانست؛ زیرا تابع جزء صحیح در صفر پیوسته نیست.

گام دوم: جهت نزدیک‌شدن به صفر را تعیین می‌کنیم. سینوس در همسایگی $\pi/6$ صعودی است؛ پس برای $x<\pi/6$ و نزدیک به آن، داریم $\sin x<\frac12$ و در نتیجه $2\sin x-1<0$. همچنین می‌توان این همسایگی را چنان کوچک گرفت که $0<x<\pi/6$ باشد؛ در این صورت:
$0<\sin x<\frac12\quad\Rightarrow\quad -1<2\sin x-1<0$.

گام سوم: جزء صحیح را اعمال می‌کنیم. جزء صحیح هر عدد در بازهٔ $(-1,0)$ برابر $-1$ است؛ این رفتار از نمودار تابع جزء صحیح نیز دیده می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۳–۱۳۴). پس برای تمام $x$های به‌اندازهٔ کافی نزدیک به نقطه از سمت چپ، داریم:
$[2\sin x-1]=-1$.
بنابراین تابع در این سمت مقدار ثابتی دارد و با توجه به قاعدهٔ حد تابع ثابت (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲۸–۱۳۰):
$\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{6}^-}[2\sin x-1]=-1$.

پاسخ: گزینهٔ ۱