سوال ۱۲۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. تشخیص نقش جزءصحیح
در این سؤال، $[u]$ جزءصحیحِ $u$ است، نه پرانتز معمولی. تابع جزءصحیح هنگام عبور ورودی از یک عدد صحیح پرش دارد؛ بررسی پیوستگی این تابع در تمرین کتاب نیز مطرح شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۲). همچنین پیوستگی روی $\mathbb{R}$ یعنی پیوستگی در تمام نقاط حقیقی (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۴۰–۱۴۱).

۲. نشان‌دادن وجود پرش در جملهٔ داخل تابع
قرار می‌دهیم $q(x)=x^2-ax$. معادلهٔ $q(x)=1$ همواره دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد. ریشهٔ بزرگ‌تر را در نظر می‌گیریم:
$c=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$.
چون $q(c)=1$، داریم:
$q(x)-1=(x-c)(x+c-a)$.
در نزدیکی $c$، عامل دوم مثبت است؛ زیرا در خود این نقطه برابر $2c-a=\sqrt{a^2+4}>0$ است. بنابراین، در سمت چپ و به‌اندازهٔ کافی نزدیک به $c$، مقدار $q(x)$ کمی کمتر از $1$ و در سمت راست، کمی بیشتر از $1$ است. پس:
$\lim_{x\to c^-}[q(x)]=0$،
$\lim_{x\to c^+}[q(x)]=1$.
در نتیجه حدهای یک‌طرفهٔ تابع اصلی عبارت‌اند از:
$\lim_{x\to c^-}f(x)=-2a$،
$\lim_{x\to c^+}f(x)=b-2a$.
برای پیوستگی، این دو حد باید برابر باشند؛ مطابق معیار پیوستگی از چپ و راست در کتاب (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۹–۱۴۰). بنابراین:
$-2a=b-2a\Rightarrow b=0$.

۳. استفاده از ناصفربودن تابع و محاسبهٔ نسبت
با قرار دادن $b=0$، ضابطه به $f(x)=-2a$ تبدیل می‌شود. چون تابع ناصفر است، $a\ne0$؛ پس مخرج کسر نیز صفر نیست. اکنون:
$f(b)=f(0)=-2a$،
$\frac{a}{f(b)}=\frac{a}{-2a}=-\frac{1}{2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱