سوال ۱۲۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

برای محاسبهٔ عبارت، لازم نیست سینوس و کسینوسِ زاویهٔ داده‌شده را جداگانه به دست آوریم.

گام اول: بازنویسی مجموع و تفاضل سینوس و کسینوس
با استفاده از اتحادهای سینوسِ مجموع و تفاضل و مقدارهای $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$، داریم:
$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
و
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.
مقدار نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص در جدول کتاب مرور شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۷۸–۷۹).

گام دوم: جای‌گذاری زاویه و ساده‌سازی
با قرار دادن $x=\frac{11\pi}{12}$ و حذف عامل مشترکِ $\sqrt{2}$، عبارت برابر است با:
$\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{11\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sin\frac{7\pi}{6}}{\sin\frac{2\pi}{3}}$.

گام سوم: محاسبهٔ نسبت‌های مثلثاتی
زاویهٔ $\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$ در ربع سوم است؛ بنابراین:
$\sin\frac{7\pi}{6}=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$.
همچنین، با استفاده از رابطهٔ سینوسِ زاویه‌های مکمل که در کتاب به کار رفته است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۳–۸۴):
$\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
پس حاصل عبارت برابر است با:
$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴