سوال ۱۳۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

ابتدا زاویه‌ها را با استفاده از تناوب نسبت‌های مثلثاتی ساده می‌کنیم؛ سینوس و کسینوس با افزودن یا کاستن مضرب‌های $2\pi$ تغییر نمی‌کنند و دورهٔ تناوب تانژانت $\pi$ است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۷–۸۸).

گام اول ــ محاسبهٔ حاصل‌ضرب اول:

$\frac{17\pi}{3}=4\pi+\frac{5\pi}{3}$، پس

$\sin\frac{17\pi}{3}=\sin\frac{5\pi}{3}=\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

در این محاسبه از رابطهٔ $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$ استفاده کردیم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۷۹–۸۰).

برای کسینوس، با افزودن $4\pi$ به زاویه داریم:

$\cos(-\frac{17\pi}{6})=\cos(-\frac{17\pi}{6}+4\pi)=\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

زیرا زاویهٔ $\frac{7\pi}{6}$ در ربع سوم است، کسینوس آن منفی است و زاویهٔ مرجع آن $\frac{\pi}{6}$ است. بنابراین:

$\sin\frac{17\pi}{3}\cos(-\frac{17\pi}{6})=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3}{4}$.

گام دوم ــ محاسبهٔ حاصل‌ضرب دوم:

$\tan\frac{19\pi}{4}=\tan(\frac{19\pi}{4}-4\pi)=\tan\frac{3\pi}{4}=-1$.

همچنین با افزودن یک دور کامل به زاویهٔ سینوس:

$\sin(-\frac{11\pi}{6})=\sin(-\frac{11\pi}{6}+2\pi)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

پس:

$\tan\frac{19\pi}{4}\sin(-\frac{11\pi}{6})=(-1)\times\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$.

گام سوم ــ جمع دو حاصل‌ضرب:

$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳