سوال ۱۱۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم: صورت سؤال با کلید اعلام‌شده سازگار نیست؛ با زاویه‌های نوشته‌شده، هیچ‌یک از گزینه‌ها حاصل دقیق عبارت نیست.

گام اول ــ ساده‌کردن صورت:
طبق رابطهٔ $\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۳–۸۴)، داریم:
$\cos248^\circ=\cos(90^\circ+158^\circ)=-\sin158^\circ$.
پس صورت برابر است با:
$3\cos248^\circ-2\sin158^\circ=-3\sin158^\circ-2\sin158^\circ=-5\sin158^\circ$.
از رابطهٔ سینوس زاویه‌های مکمل نیز داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۰–۸۱):
$\sin158^\circ=\sin(180^\circ-22^\circ)=\sin22^\circ$.
بنابراین صورت برابر $-5\sin22^\circ$ است.

گام دوم ــ ساده‌کردن مخرج:
با همان رابطهٔ تبدیل کسینوس:
$\cos293^\circ=\cos(90^\circ+203^\circ)=-\sin203^\circ$.
در نتیجه:
$\sin203^\circ-\cos293^\circ=2\sin203^\circ$.
طبق رابطهٔ $\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۱–۸۲):
$\sin203^\circ=\sin(180^\circ+23^\circ)=-\sin23^\circ$.
پس مخرج برابر $-2\sin23^\circ$ است.

گام سوم ــ تشکیل کسر نهایی:
$\frac{3\cos248^\circ-2\sin158^\circ}{\sin203^\circ-\cos293^\circ}=\frac{-5\sin22^\circ}{-2\sin23^\circ}=\frac{5\sin22^\circ}{2\sin23^\circ}\approx2.397$.

نمی‌توان $\sin22^\circ$ و $\sin23^\circ$ را حذف کرد، زیرا برابر نیستند. بنابراین مقدار عبارت دقیقاً $2.5$ نیست و گزینهٔ چهارم با صورت فعلی تأیید نمی‌شود؛ احتمالاً در ثبت یکی از زاویه‌ها خطایی رخ داده است.

صرفاً بر اساس کلید اعلام‌شده، نه حاصل دقیق عبارتِ نوشته‌شده:
پاسخ: گزینهٔ ۴