نمونه سوال فصل ۵ ریاضی یازدهم با جواب

در تعریف تابع نمایی، پایه باید مثبت و مخالف یک باشد (صفحهٔ ۹۹). بنابراین لازم است $(m-2)^2>0$ و $(m-2)^2\ne1$. شرط اول مقدار $m=2$ و شرط دوم مقدارهای $m=1$ و $m=3$ را کنار می‌گذارد. پس مجموعهٔ مجاز برابر $\mathbb{R}\setminus\{1,2,3\}$ است. پاسخ: گزینهٔ ۱

از رابطهٔ پایه‌های معکوس داریم $g(x)=3^x=\left(\frac13\right)^{-x}=f(-x)$؛ این همان رابطهٔ تقارن نمودارها نسبت به محور عرض‌هاست (صفحهٔ ۱۰۲). همچنین $f(c)g(c)=\left(\frac13\right)^c3^c=1$. پس از $f(c)=5$ نتیجه می‌شود $g(c)=\frac15$ و بنابراین $f(c)+g(c)=5+\frac15=\frac{26}{5}$. پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق تعریف وارون، برای محاسبهٔ $f^{-1}(y)$ باید ورودی متناظر با خروجی $y$ را پیدا کنیم (صفحه‌های ۱۰۶ و ۱۰۷). انتقال‌های موجود در ضابطه نیز باید حفظ شوند (صفحه‌های ۱۱۵ و ۱۱۶). برای خروجی نخست داریم $2^{x-1}+3=11$، پس $2^{x-1}=8=2^3$ و $x=4$. برای خروجی دوم، $2^{x-1}+3=4$، بنابراین $2^{x-1}=1=2^0$ و $x=1$. در نتیجه $f^{-1}(11)+f^{-1}(4)=4+1=5$. پاسخ: گزینهٔ ۳

مدل داده‌شده برای مقدار دارو در خون، $A(t)=100(1-0.9^t)$ است (صفحه‌های ۱۰۲ و ۱۰۳). افزایش در بازهٔ نخست برابر $A(2)-A(0)=100(1-0.9^2)$ و افزایش در بازهٔ دوم برابر $A(4)-A(2)=100(0.9^2-0.9^4)=100\times0.9^2(1-0.9^2)$ است. بنابراین نسبت خواسته‌شده برابر $\frac{A(4)-A(2)}{A(2)-A(0)}=0.9^2=0.81$ خواهد بود. پاسخ: گزینهٔ ۴

با استفاده از یک‌به‌یک‌بودن تابع نمایی، پس از هم‌پایه‌کردن می‌توان توان‌ها را برابر قرار داد (صفحه‌های ۱۰۳ و ۱۰۴). داریم $4^{x^2-2x}=8^{x-1}\Rightarrow2^{2x^2-4x}=2^{3x-3}$. بنابراین $2x^2-7x+3=0$ یا $(2x-1)(x-3)=0$. جواب‌ها $x=\frac12$ و $x=3$ هستند و مجموع آن‌ها برابر $\frac12+3=\frac72$ است. پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا باید $x+1>0$ باشد، زیرا آرگومان لگاریتم مثبت است (صفحه‌های ۱۰۷ تا ۱۰۹). شرط خواسته‌شده برابر است با $2-\log_{\frac12}(x+1)>0$، یعنی $\log_{\frac12}(x+1)<2$. چون پایه بین صفر و یک است، تابع لگاریتمی نزولی است. از $2=\log_{\frac12}\left(\frac14\right)$ نتیجه می‌شود $x+1>\frac14$، پس $x>-\frac34$. این شرط، شرط دامنه را نیز تأمین می‌کند. انتقال‌های ضابطه مطابق قواعد نمودارهای انتقال‌یافته لحاظ شده‌اند (صفحه‌های ۱۱۵ و ۱۱۶). پاسخ: گزینهٔ ۲

مدل رشد باکتری با دوبرابرشدن در هر نیم ساعت، شامل عامل $2^{2t}$ است (صفحهٔ ۱۱۷). اگر $t$ زمان سپری‌شده از آغاز کشت نخست برحسب ساعت باشد، جمعیت‌ها پس از آغاز کشت دوم عبارت‌اند از $P(t)=100\times2^{2t}$ و $Q(t)=50\times2^{2(t-1)}$. بنابراین $\frac{Q(t)}{P(t)}=\frac{50}{100}\times2^{-2}=\frac18$. در لحظهٔ موردنظر نیز $Q=\frac{12800}{8}=1600$ است. برای بررسی زمان، از $100\times2^{2t}=12800$ به $2t=7$ و $t=\frac72$ می‌رسیم که پس از شروع کشت دوم است. پاسخ: گزینهٔ ۳

رابطهٔ انرژی و بزرگی زمین‌لرزه برابر $\log E=11.8+1.5M$ است؛ پس $E=10^{11.8+1.5M}$، که انرژی در آن برحسب $\mathrm{Erg}$ بیان می‌شود (صفحهٔ ۱۱۷). بزرگی زمین‌لرزهٔ ضعیف‌تر را $m$ می‌نامیم؛ بزرگی زمین‌لرزهٔ قوی‌تر $m+2$ است. بنابراین $E_{\text{قوی}}=10^{11.8+1.5(m+2)}=10^3E_{\text{ضعیف}}$. از مجموع انرژی‌ها داریم $1001E_{\text{ضعیف}}=1001\times10^{19.3}$، پس $E_{\text{ضعیف}}=10^{19.3}$. در نتیجه $11.8+1.5m=19.3$ و $m=5$. بزرگی زمین‌لرزهٔ قوی‌تر برابر $m+2=7$ است. پاسخ: گزینهٔ ۴

تابع‌های $f(x)=\left(\frac14\right)^x$ و $g(x)=\log_{\frac14}x$ وارون یکدیگرند؛ بنابراین نمودارهای آن‌ها نسبت به خط $y=x$ قرینه‌اند. دامنه و برد تابع نمایی به‌ترتیب $\mathbb{R}$ و $(0,+\infty)$ است و این دو مجموعه برای تابع لگاریتمی جابه‌جا می‌شوند. همچنین تابع لگاریتمی در ورودی صفر تعریف نشده است و از نقطهٔ $(1,0)$ می‌گذرد، نه $(0,1)$ (صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷). پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق قانون توانِ توان، $4^x=(2^x)^2$ است (صفحهٔ ۹۸). با قرار دادن $t=2^x>0$، معادله به شکل $t^2-5t+4=0$ درمی‌آید. از تجزیهٔ $(t-1)(t-4)=0$، مقدارهای $t=1$ و $t=4$ حاصل می‌شوند. پس جواب‌های معادلهٔ نمایی، $x=0$ و $x=2$ هستند؛ تبدیل معادله به پایهٔ مشترک با روش معادلات نمایی سازگار است (صفحهٔ ۱۰۴). بنابراین مجموع خواسته‌شده برابر است با $2^0+2^{-2}=1+\frac14=\frac54$. پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق تعریف لگاریتم و ارتباط آن با تابع نمایی، از سه نقطهٔ داده‌شده داریم: $3-h=a^{1-k}$، $5-h=a^{2-k}$ و $9-h=a^{3-k}$ (صفحهٔ ۱۰۶). با تفریق رابطه‌های متوالی و استفاده از قوانین توان می‌نویسیم: $2=a^{1-k}(a-1)$ و $4=a^{2-k}(a-1)$ (صفحهٔ ۹۸). تقسیم رابطهٔ دوم بر اول، $a=2$ را می‌دهد. سپس $2=2^{1-k}$ و در نتیجه $k=0$ است. از $3-h=2$ نیز $h=1$ به دست می‌آید. پس تابع انتقال‌یافته برابر $g(x)=\log_2(x-1)$ است؛ این ضابطه با انتقال افقی نمودار لگاریتمی سازگار است (صفحهٔ ۱۱۵–۱۱۶). اکنون $g(17)=\log_2 16=4$. پاسخ: گزینهٔ ۳

تابع $\left(\frac12\right)^x$ نزولی است. انتقال افقی، یکنوایی آن را تغییر نمی‌دهد و قرینه‌سازی نسبت به محور طول‌ها آن را صعودی می‌کند؛ بنابراین $f(x)=3-\left(\frac12\right)^{x-1}$ صعودی و یک‌به‌یک است (صفحهٔ ۱۰۲ و صفحهٔ ۱۱۵–۱۱۶). اگر $g=f^{-1}$ باشد، شرط $-1<g(x)<2$ با $f(-1)<x<f(2)$ هم‌ارز است؛ زیرا تابع و وارون آن صعودی‌اند و نقش ورودی و خروجی در آن‌ها جابه‌جا می‌شود (صفحهٔ ۱۰۶). داریم $f(-1)=3-4=-1$ و $f(2)=3-\frac12=\frac52$. پس $-1<x<\frac52$ و ورودی‌های صحیح مجاز عبارت‌اند از $0$، $1$ و $2$. مجموع آن‌ها برابر $0+1+2=3$ است. پاسخ: گزینهٔ ۴