سوال ۱۳۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

پاسخ تشریحی

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

• گزینهٔ ۲: ممکن است با یکی‌گرفتن دو لگاریتمِ دارای پایه و آرگومان جابه‌جا، به این گزینه برسید؛ اما این دو لگاریتم معکوس یکدیگرند. با فرض $y=x^3$، طرف چپ برابر $3-2\times\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ می‌شود و با $1$ برابر نیست.
• گزینهٔ ۳: این گزینه ممکن است از جابه‌جایی پایه و آرگومان هنگام تبدیل لگاریتم به توان به دست آید. اگر $y=\sqrt{x}$ باشد، داریم $\log_x y=\frac{1}{2}$ و $\log_y x=2$؛ پس طرف چپ برابر $-\frac{7}{2}$ است، نه $1$.
• گزینهٔ ۴: ممکن است رابطهٔ حاصل‌ضرب دو لگاریتم با رابطه‌ای برای حاصل‌ضرب خودِ متغیرها اشتباه گرفته شود؛ در حالی که $\log_x y\,\log_y x=1$ هیچ‌گاه به‌تنهایی مقدار $xy$ را تعیین نمی‌کند. برای نمونه، $x=2$ و $y=4$ معادلهٔ سؤال را برقرار می‌کنند، اما $xy=8$ است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

1. رابطهٔ دو لگاریتمی را به یاد بیاورید که جای پایه و آرگومانشان عوض شده است؛ این رابطه در تمرین‌های ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴ آمده است.
2. اگر $t=\log_x y$ بگیرید، لگاریتم دیگر برابر $\frac{1}{t}$ می‌شود. همچنین از شرط $x,y>1$ نتیجه بگیرید که $t$ مثبت است.
3. با جای‌گذاری، معادلهٔ $t^2-t-2=0$ به دست می‌آید. آن را تجزیه کنید، ریشهٔ ناسازگار با مثبت‌بودن $t$ را کنار بگذارید و سپس تعریف لگاریتم را به کار ببرید.