دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۵ · ریاضی

سوال ۱۱۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۹ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۹ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۱۹ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

حاصل (0/25)1−log⁡410(0/25)^{1-\log_4 10} کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 2/52/5
  2. گزینهٔ ۲: 0/50/5
  3. گزینهٔ ۳: 0/250/25
  4. گزینهٔ ۴: 0/050/05
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

در صورت سؤال، علامت «/» نشانهٔ اعشار است؛ بنابراین پایهٔ عبارت 0.250.25 و عددِ گزینهٔ اول 2.52.5 است.

گام اول: پایه را به صورت توانی از مبنای لگاریتم می‌نویسیم:
0.25=14=4−10.25=\frac14=4^{-1}
پس با استفاده از قانون توانِ توان داریم:
(0.25)1−log⁡410=(4−1)1−log⁡410=4log⁡410−1(0.25)^{1-\log_4 10}=(4^{-1})^{1-\log_4 10}=4^{\log_4 10-1}

گام دوم: تفاضلِ توان‌ها را به خارج‌قسمت تبدیل می‌کنیم:
4log⁡410−1=4log⁡41044^{\log_4 10-1}=\frac{4^{\log_4 10}}{4}

گام سوم: طبق رابطهٔ alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b، که از تعریف لگاریتم به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۳–۱۱۴)، داریم:
4log⁡410=104^{\log_4 10}=10
بنابراین:
(0.25)1−log⁡410=104=52=2.5(0.25)^{1-\log_4 10}=\frac{10}{4}=\frac52=2.5

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۲: ممکن است با جای‌گذاری نادرست log⁡410=12\log_4 10=\frac12 به 0.50.5 برسید؛ اما 412=24^{\frac12}=2 است، نه 1010، پس این جای‌گذاری درست نیست.
  • گزینهٔ ۳: این گزینه از نادیده‌گرفتن بخش لگاریتمیِ توان و محاسبهٔ صرفِ (0.25)1(0.25)^1 به دست می‌آید؛ درحالی‌که توان عبارت برابر با یک نیست.
  • گزینهٔ ۴: اشتباه در علامت توان هنگام تبدیل پایه به معکوسش می‌تواند به انتخاب عددی کوچک‌تر از یک منجر شود. چون log⁡410>1\log_4 10>1، توانِ پایهٔ 0.250.25 منفی است و حاصل باید بزرگ‌تر از یک باشد؛ پس 0.050.05 پذیرفتنی نیست.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. رابطهٔ وارون‌بودن توان و لگاریتم را به یاد بیاورید: alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b؛ برای استفاده از آن، پایهٔ توان را با مبنای لگاریتم هماهنگ کنید.
  2. پایه را به صورت 0.25=4−10.25=4^{-1} بنویسید. دقت کنید که با این تبدیل، علامت تمام عبارتِ توان تغییر می‌کند.
  3. پس از تبدیل پایه، عبارت به 4log⁡410−14^{\log_4 10-1} می‌رسد. آن را به صورت یک کسر از دو توانِ هم‌پایه بنویسید و صورت کسر را با خاصیت توان و لگاریتم ساده کنید.

ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «توابع نمایی و لگاریتمی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۵

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری