دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۲۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۲ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · سوال ۱۲۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۲: مثلثات

کمترین فاصله بین دو مقدار از جواب‌های معادله cos⁡x1+sin⁡x=1+sin⁡xcos⁡x\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x} کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 2π2\pi
  2. گزینهٔ ۲: π\pi
  3. گزینهٔ ۳: π2\frac{\pi}{2}
  4. گزینهٔ ۴: π3\frac{\pi}{3}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. تعیین دامنه: برای تعریف شدن هر دو کسر باید داشته باشیم:
cos⁡x≠0,1+sin⁡x≠0\cos x\ne0,\qquad 1+\sin x\ne0.

۲. ساده‌سازی معادله: با رعایت شرط‌های دامنه، طرفین را در حاصل‌ضرب مخرج‌ها ضرب می‌کنیم:
cos⁡2x=(1+sin⁡x)2\cos^2x=(1+\sin x)^2.
با استفاده از اتحاد cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x داریم:
1−sin⁡2x=1+2sin⁡x+sin⁡2x1-\sin^2x=1+2\sin x+\sin^2x
⇒2sin⁡2x+2sin⁡x=0\Rightarrow 2\sin^2x+2\sin x=0
⇒2sin⁡x(sin⁡x+1)=0\Rightarrow 2\sin x(\sin x+1)=0.
پس دو حالت به دست می‌آید:
sin⁡x=0یاsin⁡x=−1\sin x=0\quad\text{یا}\quad\sin x=-1.

۳. بررسی جواب‌ها در دامنه: اگر sin⁡x=−1\sin x=-1 باشد، مخرج 1+sin⁡x1+\sin x صفر می‌شود؛ بنابراین این حالت پذیرفتنی نیست. برای حالت sin⁡x=0\sin x=0، مطابق جواب‌های کلی صفرهای سینوس در کتاب، داریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۳):
x=kπ,k∈Zx=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
همهٔ این زاویه‌ها معتبرند، زیرا در آن‌ها 1+sin⁡x=11+\sin x=1 و cos⁡x=(−1)k≠0\cos x=(-1)^k\ne0 است.

۴. یافتن کمترین فاصله: فاصلهٔ هر دو جواب متمایز برابر است با:
∣kπ−mπ∣=∣k−m∣π,k,m∈Z,k≠m|k\pi-m\pi|=|k-m|\pi,\qquad k,m\in\mathbb{Z},\quad k\ne m.
کمترین مقدار مثبت ∣k−m∣|k-m| برابر 11 است؛ بنابراین کمترین فاصلهٔ دو جواب، π\pi خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با توجه به دورهٔ سینوس و کسینوس، فاصلهٔ جواب‌ها را 2π2\pi بگیرید؛ اما این فاصله کمترین نیست، زیرا بین دو جواب 00 و 2π2\pi، جواب معتبر π\pi هم وجود دارد.
  • گزینهٔ ۳: ممکن است با حذف نادرست مخرج‌ها، زاویه‌های دارای cos⁡x=0\cos x=0 را نیز جواب حساب کنید و به فاصلهٔ π2\frac{\pi}{2} برسید. این زاویه‌ها در دامنهٔ معادلهٔ اصلی نیستند، چون مخرج سمت راست صفر می‌شود.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است زاویهٔ آشنای π3\frac{\pi}{3} را بدون حل کامل معادله، فاصلهٔ جواب‌ها فرض کنید. در حالی که جواب‌های معتبر باید شرط sin⁡x=0\sin x=0 را داشته باشند و افزودن π3\frac{\pi}{3} به یک جواب، جواب دیگری تولید نمی‌کند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. ابتدا شرط ناصفر بودن مخرج‌ها را بنویسید. سپس به یاد بیاورید که در درس معادلات مثلثاتی، جواب‌های کلی چگونه نمایش داده می‌شوند.
  2. پس از ضرب طرفین در مخرج‌های ناصفر، از اتحاد cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x استفاده کنید و عبارت حاصل را برحسب sin⁡x\sin x تجزیه کنید.
  3. از تجزیه، دو حالت sin⁡x=0\sin x=0 و sin⁡x=−1\sin x=-1 به دست می‌آید. حالت دوم را با دامنه بررسی کنید؛ سپس جواب‌های حالت باقی‌مانده را به ترتیب روی محور قرار دهید و فاصلهٔ دو جواب متوالی را بیابید.

ریاضی ۳ · فصل ۲: مثلثات

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری