سوال ۱۲۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: دورهٔ تناوب را از نمودار می‌خوانیم.
طبق تعریف، دورهٔ تناوب طول کوچک‌ترین بازه‌ای است که نمودار با تکرار آن ساخته می‌شود (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۱–۳۳). دو سر بازهٔ داده‌شده، دو ماکزیمم متوالی‌اند؛ پس:
$T=\frac{9\pi}{20}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{5}$.

با استفاده از اتحاد $\cos^2 u=\frac{1+\cos 2u}{2}$، تابع را می‌نویسیم:
$y=\frac{a}{2}\cos\left(2bx-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{a}{2}+c$.
طبق رابطهٔ دورهٔ تناوب تابع کسینوسی، ضریب متغیر تعیین‌کنندهٔ دوره است و انتقال‌ها آن را تغییر نمی‌دهند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۵). بنابراین:
$T=\frac{2\pi}{|2b|}=\frac{\pi}{|b|}$.
در نتیجه:
$\frac{\pi}{|b|}=\frac{\pi}{5}\quad\Rightarrow\quad |b|=5$.

گام دوم: اندازهٔ ضریب بیرونی را تعیین می‌کنیم.
چون $0\leq\cos^2 u\leq1$، اختلاف بیشینه و کمینهٔ تابع برابر $|a|$ است. این نتیجه با اعمال روابط بیشینه و کمینهٔ تابع کسینوسی بر ضابطهٔ بازنویسی‌شده نیز به دست می‌آید (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۵):
$|a|=1-(-2)=3$.

گام سوم: علامت حاصل‌ضرب را مشخص می‌کنیم.
صرفِ ماکزیمم بودن نقطهٔ آغاز، بدون بررسی عبارت داخل کسینوس، برای مثبت دانستن $a$ کافی نیست. دو حالت داریم:

اگر $b=5$ باشد، در $x=\frac{\pi}{4}$ داریم:
$bx-\frac{\pi}{4}=\pi\quad\Rightarrow\quad\cos^2\pi=1$.
پس مقدار تابع در این نقطه $a+c$ است. برای آنکه این مقدار ماکزیمم باشد، باید $a>0$ باشد؛ بنابراین $a=3$ و $ab=3\times5=15$.

اگر $b=-5$ باشد، در همان نقطه داریم:
$bx-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad\cos^2\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
این بار مقدار تابع برابر $c$ است و برای ماکزیمم بودن آن باید $a<0$ باشد؛ بنابراین $a=-3$ و باز هم $ab=(-3)\times(-5)=15$.

پس در هر دو حالتِ مجاز، حاصل‌ضرب یکسان است.

پاسخ: گزینهٔ ۱