دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۲۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۱ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۲۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۳: حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت

چندجمله‌ای f(x)=x5−3x3+ax+5f(x)=x^5-3x^3+ax+5 بر x+2x+2 بخش‌پذیر است. مقدار aa کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: −1/5-1/5
  2. گزینهٔ ۲: 1/51/5
  3. گزینهٔ ۳: −2/5-2/5
  4. گزینهٔ ۴: 2/52/5
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

در داده‌های سؤال ناسازگاری وجود دارد: با چندجمله‌ای نوشته‌شده، گزینهٔ تأییدشده درست نیست.

گام اول: طبق قضیهٔ باقی‌مانده، باقی‌ماندهٔ تقسیم چندجمله‌ای بر x−rx-r برابر f(r)f(r) است؛ پس برای بخش‌پذیری باید این مقدار صفر باشد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۰–۵۱).

چون x+2=x−(−2)x+2=x-(-2)، شرط بخش‌پذیری چنین است:
f(−2)=0f(-2)=0.

گام دوم: در چندجمله‌ای داده‌شده جای‌گذاری می‌کنیم:
f(−2)=(−2)5−3(−2)3+a(−2)+5f(-2)=(-2)^5-3(-2)^3+a(-2)+5.

توان‌های فردِ عدد منفی، منفی‌اند؛ بنابراین:
f(−2)=−32+24−2a+5=−3−2af(-2)=-32+24-2a+5=-3-2a.

گام سوم: باقی‌مانده را برابر صفر قرار می‌دهیم:
−3−2a=0⇒−2a=3⇒a=−32-3-2a=0\Rightarrow -2a=3\Rightarrow a=-\frac{3}{2}.

این مقدار در گزینه‌ها نیست. همچنین با مقدار گزینهٔ اول، یعنی a=−15a=-\frac{1}{5}، داریم:
f(−2)=−3+25=−135≠0f(-2)=-3+\frac{2}{5}=-\frac{13}{5}\ne0.
پس گزینهٔ اول نیز شرط بخش‌پذیری را تأمین نمی‌کند و لازم است صورت سؤال یا گزینه‌ها اصلاح شود.

پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ مقدار درست برای صورت سؤال فعلی a=−32a=-\frac{3}{2} است.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۲: ممکن است خطای علامت در جای‌گذاری یا حل معادله باعث انتخاب این گزینه شود؛ اما با a=15a=\frac{1}{5} داریم f(−2)=−175≠0f(-2)=-\frac{17}{5}\ne0، پس شرط بخش‌پذیری برقرار نیست.
  • گزینهٔ ۳: منفی بودن این مقدار ممکن است آن را مناسب جلوه دهد، اما علامت به‌تنهایی کافی نیست؛ با a=−25a=-\frac{2}{5}، باقی‌مانده برابر f(−2)=−115f(-2)=-\frac{11}{5} است و صفر نمی‌شود.
  • گزینهٔ ۴: اشتباه در محاسبهٔ توان‌ها یا ضریب جملهٔ axax می‌تواند به انتخاب این مقدار منجر شود؛ بااین‌حال، برای a=25a=\frac{2}{5} داریم f(−2)=−195≠0f(-2)=-\frac{19}{5}\ne0.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. قضیهٔ باقی‌مانده و ارتباط آن با بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها را در ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۰–۵۱ مرور کنید.
  2. برای بخش‌پذیری بر x+2x+2 باید مقدار چندجمله‌ای در ریشهٔ همین دوجمله‌ای صفر باشد؛ بنابراین شرط لازم f(−2)=0f(-2)=0 است.
  3. پس از جای‌گذاری، معادلهٔ −32+24−2a+5=0-32+24-2a+5=0 را به دست می‌آورید. جمله‌های عددی را جمع کنید و سپس ضریب مجهول را در نظر بگیرید.

ریاضی ۳ · فصل ۳: حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری