سوال ۱۲۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

طبق تعریف یکنوایی، تابع نزولی با افزایش ورودی افزایش نمی‌یابد؛ بنابراین شاخهٔ ثابت نیز مجاز است. همچنین باید نزولی بودن تابع را هم درون هر شاخه و هم هنگام عبور از مرز دو شاخه بررسی کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹).

گام اول: بررسی شاخهٔ اول
برای $x\leq-2$ داریم $x+2\leq0$؛ پس:
$|x+2|+1=-(x+2)+1=-x-1$.
این شاخه با شیب $-1$ نزولی است و در نقطهٔ مرزی داریم:
$f(-2)=1$.
بنابراین مقادیر شاخهٔ اول همگی بزرگ‌تر یا مساوی $1$ هستند.

گام دوم: بررسی شاخهٔ دوم
شاخهٔ دوم با ضابطهٔ $5m-mx$ خطی و شیب آن $-m$ است. برای نزولی بودن آن باید:
$-m\leq0\quad\Longrightarrow\quad m\geq0$.
تساوی نیز مجاز است، چون سؤال تابع «نزولی» خواسته است، نه «اکیداً نزولی».

گام سوم: بررسی اتصال دو شاخه
برای نزولی بودن تابع روی $\mathbb{R}$، مقادیر شاخهٔ دوم نباید از $f(-2)=1$ بیشتر شوند. مقدار مرزی ضابطهٔ شاخهٔ دوم در $x=-2$ برابر است با:
$5m-m(-2)=7m$.
پس لازم است:
$7m\leq1\quad\Longrightarrow\quad m\leq\frac{1}{7}$.
اگر $7m>1$ باشد، برای ورودی‌های به‌اندازهٔ کافی نزدیک به $-2$ از سمت راست، خروجی از $1$ بیشتر می‌شود و تابع نزولی نخواهد بود.

این شرط کافی نیز هست؛ زیرا برای $m\geq0$ و $x>-2$ داریم:
$5m-mx=7m-m(x+2)\leq7m\leq1$.
پس تمام مقادیر شاخهٔ دوم از تمام مقادیر شاخهٔ اول کوچک‌تر یا مساوی‌اند.

گام چهارم: تعیین بازه و مجموع دو سر آن
با ترکیب شرط‌ها:
$0\leq m\leq\frac{1}{7}$.
در نتیجه:
$[a,b]=\left[0,\frac{1}{7}\right]\quad\Longrightarrow\quad a+b=\frac{1}{7}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴