سوال ۱۴۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

ابتدا توجه می‌کنیم که وقتی $x\to-\infty$، مقدار $x$ منفی است؛ بنابراین $\sqrt{x^2}=|x|=-x$. این نکته در تعیین علامت عبارت رادیکالی نقش اصلی دارد.

گام اول ـ گویاکردن: برای ساده‌کردن جمعِ دو جمله، از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم:
$f(x)=2x+\sqrt{4x^2+x}=\frac{(2x+\sqrt{4x^2+x})(2x-\sqrt{4x^2+x})}{2x-\sqrt{4x^2+x}}=\frac{4x^2-(4x^2+x)}{2x-\sqrt{4x^2+x}}=\frac{-x}{2x-\sqrt{4x^2+x}}.$

گام دوم ـ تقسیم بر $x$: مانند روش ساده‌سازی کسرها در حد در بی‌نهایت، صورت و مخرج را بر توان مناسب متغیر تقسیم می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶۰). چون $x<0$، داریم:
$\sqrt{4x^2+x}=\sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x}\right)}=-x\sqrt{4+\frac{1}{x}}.$
پس:
$f(x)=\frac{-x}{2x+x\sqrt{4+\frac{1}{x}}}=\frac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}.$

گام سوم ـ محاسبهٔ حد: طبق قضیهٔ حد توان‌های معکوس، $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$؛ همچنین چون حد مخرج ناصفر است، می‌توان از قاعدهٔ حد خارج‌قسمت استفاده کرد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۹–۶۰). بنابراین:
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\frac{-1}{2+\sqrt{4+0}}=\frac{-1}{4}.$

در نتیجه، دادهٔ «گزینهٔ صحیح تأییدشده» با صورت سؤال سازگار نیست: حد برابر $-\frac{1}{4}$ است، در حالی که گزینهٔ سوم $\frac{1}{4}$ نوشته شده و هیچ‌یک از گزینه‌های موجود درست نیست. اگر علامت گزینهٔ سوم به منفی اصلاح شود، پاسخ: گزینهٔ ۳