سوال ۱۳۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

گام اول: تبدیل معادله به حاصل‌ضرب
با استفاده از اتحاد $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ داریم:
$1-\sin^2 x-\sin^2 x\cos(3x)=1$
پس:
$\sin^2 x\bigl(1+\cos(3x)\bigr)=0$
بنابراین باید دست‌کم یکی از دو عامل صفر باشد:
$\sin x=0\quad\text{یا}\quad\cos(3x)=-1$.

گام دوم: حل حالت اول
طبق رابطهٔ صفرهای سینوس در کتاب، جواب‌های $\sin x=0$ به صورت $x=k\pi$، با $k\in\mathbb Z$، هستند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۳–۴۴). در بازهٔ $[0,2\pi]$ به دست می‌آید:
$A=\{0,\pi,2\pi\}$.
چون بازه بسته است، هر دو سر آن نیز باید شمرده شوند.

گام سوم: حل حالت دوم
با توجه به $-1=\cos\pi$ و قاعدهٔ حل معادلهٔ کسینوسی در کتاب (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۵–۴۶)، داریم:
$\cos(3x)=\cos\pi\ \Longrightarrow\ 3x=2k\pi\pm\pi$.
این دو خانواده را می‌توان به صورت یک خانواده نوشت:
$3x=(2k+1)\pi\ \Longrightarrow\ x=\dfrac{(2k+1)\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z$.
برای قرارگرفتن در بازهٔ موردنظر باید:
$0\leq\dfrac{(2k+1)\pi}{3}\leq2\pi\ \Longrightarrow\ 0\leq2k+1\leq6$.
پس $k\in\{0,1,2\}$ و جواب‌های این حالت عبارت‌اند از:
$B=\left\{\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3}\right\}$.

گام چهارم: شمارش جواب‌های متمایز
مقدار $x=\pi$ در هر دو مجموعه وجود دارد؛ بنابراین باید فقط یک بار شمرده شود. مجموعهٔ نهایی جواب‌ها برابر است با:
$A\cup B=\left\{0,\dfrac{\pi}{3},\pi,\dfrac{5\pi}{3},2\pi\right\}$.
در نتیجه تعداد جواب‌های متمایز برابر $5$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳