سوال ۱۳۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

گام اول: تعیین سینوس و کسینوس زاویه

چون $\alpha$ در ناحیهٔ سوم است، سینوس و کسینوس آن هر دو منفی‌اند. با توجه به $\tan\alpha=\frac{3}{4}$ و اتحاد $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$، داریم:
$\sin\alpha=-\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=-\frac{4}{5}$.

گام دوم: محاسبهٔ نسبت‌های زاویهٔ دوبرابر

طبق اتحادهای زاویهٔ دوبرابر، $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ و $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ (ریاضی ۳، صفحات ۴۲–۴۳). بنابراین:
$\sin 2\alpha=2\times\left(-\frac{3}{5}\right)\times\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{24}{25}$،
$\cos 2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.

پس مخرج عبارت برابر است با:
$\cot 2\alpha=\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}=\frac{7/25}{24/25}=\frac{7}{24}$.

گام سوم: ساده‌کردن صورت کسر

از روابط تبدیل زاویه داریم:
$\cos(2\alpha-\frac{\pi}{2})=\sin 2\alpha=\frac{24}{25}$،
$\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha=\frac{4}{5}$.

در نتیجه، صورت کسر برابر است با:
$\frac{24}{25}+\frac{4}{5}=\frac{44}{25}$.

گام چهارم: محاسبهٔ مقدار عبارت

تقسیم بر یک کسر، معادل ضرب در معکوس آن است؛ بنابراین:
$\frac{\cos(2\alpha-\frac{\pi}{2})+\cos(\alpha+\pi)}{\cot 2\alpha}=\frac{44}{25}\div\frac{7}{24}=\frac{44}{25}\times\frac{24}{7}=\frac{1056}{175}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲